📚 Colinhas de prova — 2026/2

📝 No papel

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R      I (irracionais) = R − Q      Z ∩ I = ∅
N = {0,1,2,…}  Z = {…,−2,−1,0,1,2,…}  Q = frações p/q (q≠0), decimais finitos e dízimas periódicas
I = √2, √3, π, 1,57329… (sem período)     R = tudo isso junto

Testar "∈ Q?":  dá pra escrever como fração?  → 2/3 sim · 0,111… = 1/9 sim · √3 não
Cuidado: √12/√3 = √4 = 2 ∈ Q (F em "∉ Q") · 62/31 = 2 ∈ Z (então NÃO está em Q − Z)
Dízima → fração:  x = 0,111…  10x = 1,111…  10x − x = 1 → x = 1/9
                  0,999… = 1   logo 1,999… = 2 ∈ N
∈ é para ELEMENTO (1 ∈ A) · ⊂ é para CONJUNTO ({1} ⊂ A) · {1} ∈ A é F · ∅ ⊂ A é sempre V

SINAIS:  soma com sinais iguais → soma e repete o sinal (−4 − 3 = −7)
         soma com sinais diferentes → subtrai e fica o sinal do maior (−4 + 3 = −1)
         × e ÷: iguais → + ; diferentes → −   ((−4)·(−3) = 12 · (−56)÷7 = −8)
ORDEM:   parênteses → potência → × ÷ → + −   (2 + 3·5 = 17 · (2+3)·5 = 25)
TERMOS:  x + x = 2x · x·x = x² · −x·(−x) = x² · 2x + 3x = 5x
ZERO:    (qualquer coisa)·0 = 0 · 0 ÷ (−7) = 0 · dividir POR zero não existe

📝 No papel

Soma/subtração (precisa do MMC):

MMC(b, d) = M     ← fatoração ao lado

  a     c     (M÷b)·a  +  (M÷d)·c      ___
 ─── + ───  = ──────────────────────  = ───
  b     d              M                 M

Fatoração do MMC (divide pelo menor primo que dividir pelo menos um; quem não divide, repete):

4, 6 | 2
2, 3 | 2
1, 3 | 3
1, 1 |      MMC = 2·2·3 = 12

Multiplicação: em cima × em cima, embaixo × embaixo (sem MMC).

Divisão: mantém a primeira, inverte a segunda e multiplica.

Fração composta: resolve o de cima, resolve o de baixo, depois divide.

Exemplo resolvido: 3/4 − 1/6 → MMC 12 → 9/12 − 2/12 = 7/12

Fração algébrica (Reforço Q09 = Lista 02 Q05-e): [y/(y−1) − 1] ÷ [1 + y/(1−y)] → cima: [y − (y−1)]/(y−1) = 1/(y−1) · baixo: [(1−y) + y]/(1−y) = 1/(1−y) → divide: (1−y)/(y−1) = −1 (porque 1 − y = −(y − 1); vale para y ≠ 1). Frações com sinal (Q05–Q08): (−1/4) ÷ (−2/3) = (−1/4)·(−3/2) = 3/8 — nº ímpar de negativos → resultado negativo.

📝 Regras que resolvem tudo

Ordenar raízes diferentes (ex. 06: √3, ³√5, ⁴√7): leve ao mesmo índice = MMC(2,3,4) = 12 → ¹²√3⁶, ¹²√5⁴, ¹²√7³ = ¹²√729, ¹²√625, ¹²√343 → ⁴√7 < ³√5 < √3.

Decore: 2¹…2¹⁰ = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 · 3¹…3⁵ = 3, 9, 27, 81, 243 · 5¹…5⁴ = 5, 25, 125, 625

📝 Regras extras + exemplos da lista

a⁻ⁿ = 1/aⁿ   (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ   a⁰ = 1 (a ≠ 0)   0ⁿ = 0 (n > 0)
Decimal → fração ANTES de elevar: 0,25 = 1/4 · 0,5 = 1/2 · 0,1 = 1/10
  (0,25)⁻¹ = (1/4)⁻¹ = 4 · (0,5)⁻² = (1/2)⁻² = 2² = 4 · (0,1)⁻² = 10² = 100
Sinal fora: −(−2)⁴ = −16 (o expoente é do −2; o − da frente fica)
Q01: A = (2/3)² − (1/2)⁻¹ = 4/9 − 2 = −14/9 · B = 0,0625 − 0,125 = −0,0625
     C = 4⁰ + 0⁴ + (0,25)⁻¹ − (0,5)⁻² = 1 + 0 + 4 − 4 = 1 · D = −16 + 1 + 0 = −15
Notação científica: 6·10⁻⁴ + 2·10⁻⁵ = 0,0006 + 0,00002 = 0,00062 = 6,2·10⁻⁴ (V)
  3·10⁵ + 2·10⁶ = 300000 + 2000000 = 2300000 = 23·10⁵ (V)
Soma de expoentes SÓ na mesma base: 2⁵·2²·2⁷ = 2¹⁴ (≠ 8¹⁴) · 2⁵·2²·2³ = 2¹⁰ (V)
Q03: (2ⁿ⁺⁴ − 2·2ⁿ)/(2·2ⁿ⁺³) = 2ⁿ(16 − 2)/(2ⁿ·16) = 14/16 = 7/8
Raiz = expoente fracionário: 8^(4/3) = (³√8)⁴ = 2⁴ = 16 · 8^(−1/3) = 1/³√8 = 1/2
Raízes com índices diferentes → índice comum (MMC):
  ∛2·⁴√3 = ¹²√(2⁴·3³) = ¹²√432   (ERRATA: não é ∛6 — a resolução leu ⁴√3 como ∛3)
  √2·∛3 = ⁶√(2³·3²) = ⁶√72
Módulo |x|: tira o sinal. |−5| = 5 · 1 − √2 < 0 → |1 − √2| = √2 − 1 · |√3 − 1| = √3 − 1
Racionalizar/fatorar √2: (2 − √2)/(√2 − 1) = √2(√2 − 1)/(√2 − 1) = √2
Q08: ⁵√(4ˣ) = 1/√8 → 4^(x/5) = 8^(−1/2) → 2^(2x/5) = 2^(−3/2) → x = −15/4

📝 No papel

• A ∪ B ("ou"): junta tudo, sem repetir.
• A ∩ B ("e"): só o que está nos dois.
• A − B: o que está em A e NÃO está em B.
• ∈ = elemento pertence · ⊂ = conjunto está contido · ∅ ⊂ qualquer conjunto (sempre V).

Exemplo Q01: A={-1,0,1,2,3,4,5}  B={-1,0,2,4,5,7}
A ∪ B = {-1,0,1,2,3,4,5,7}
A ∩ B = {-1,0,2,4,5}
Confere: n(A)+n(B) = n(A∪B)+n(A∩B) → 7+6 = 8+5 ✔

Fórmula dos "quantos":

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
         = ___ + ___ − ___ = ___
Nem A nem B = total − n(A ∪ B)

Ex. 03-d: 8 + 10 − 3 = 15 cursam algo → 22 − 15 = 7 não cursam nenhum.
Ex. 03-e: 90 + 50 − 30 = 110.

📝 Decore e aplique

Ex. 10-a: (x+4)² = x² + 8x + 16 · Ex. 10-c: (x−4)³ = x³ − 12x² + 48x − 64

📝 No papel

Pontos: (x₁, y₁) = (__, __)   (x₂, y₂) = (__, __)

1) a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (___ − ___)/(___ − ___) = ___
2) b: pega UM ponto e substitui em y = ax + b
      y₁ = a·x₁ + b  →  b = y₁ − a·x₁ = ___
3) Lei:  y = ___x + ___
4) Prova real com o OUTRO ponto.
   a = coeficiente angular · b = coeficiente linear

Exemplo Q02: (−1, 2) e (2, −1) → a = (−1 − 2)/(2 − (−1)) = −3/3 = −1 · 2 = −1·(−1) + b → b = 1 → y = −x + 1. Prova: y(2) = −2 + 1 = −1 ✔

📝 No papel — só olhe o sinal de a (o número que multiplica x)

y = ___x + ___   →  a = ___
a > 0  →  CRESCENTE
a < 0  →  DECRESCENTE
Justificativa: "Como a = ___ (sinal ___), a função é ___."

Q03: y = 10x − 4 (a=10) crescente · y = −6x (a=−6) decrescente · y = −x + 2 (a=−1) decrescente · y = (3/2)x (a=3/2) crescente.

📝 No papel (modelo com f(x) = −3x − 4)

📝 No papel

Caminho 1 (o gráfico marca onde corta os eixos):
  b = onde corta o eixo y = ___
  r = onde corta o eixo x (raiz) = ___
  a = −b / r = ___
  y = ___x + ___      → prova real: y(0) = b ✔  y(r) = 0 ✔

Caminho 2 (dois pontos exatos da malha):
  a = Δy/Δx = (sobe)/(anda) → depois b como em 1.5

Q04: f corta y em 4 e x em 7 → a = −4/7 → f(x) = −(4/7)x + 4. g corta y em 3 e x em −1 → a = −3/(−1) = 3 → g(x) = 3x + 3.

📝 Receita de 5 passos

1) x = ___ (tempo? quantidade?)   y = ___ (temperatura? valor?)
2) Dois pontos do gráfico: (___, ___) e (___, ___)
3) a = Δy/Δx = ___    b = valor de y quando x = 0 (ou substitua um ponto)
   y = ___x + ___
4) Pergunta:
   "quando y vale K?"   → ___x + ___ = K  → isola x
   "quanto vale y em K?" → substitui x = K
5) Responda COM unidade (min, R$, pessoas…)

Q06 barra de ferro: (0,−10) e (5,30) → a = 40/5 = 8 → T = 8t − 10 → 8t − 10 = 0 → t = 10/8 = 1,25 min = 1 min 15 s.

Q07 promoção: o gráfico dá o TOTAL, a pergunta é POR UNIDADE → calcule V(20) e divida por 20. Pontos subindo (5,50),(30,150): a = 4, V = 4x + 30 → V(20) = 110 → 110/20 = R$ 5,50. (Confira no PDF se os pontos sobem.)

Q08 estádio (função por partes): ache em qual trecho está o valor. 45.000 está no trecho 2 (15h→17h: 30.000 → 90.000). Taxa = 60.000/2h = 30.000/h = 500/min. Faltam 15.000 → 15.000/500 = 30 min → 15h30.

📝 No papel

f(x) = ax² + bx + c   →   a = ___  b = ___  c = ___   (com sinal!)

Δ = b² − 4·a·c = (___)² − 4·(___)·(___) = ___

Δ > 0: duas raízes · Δ = 0: uma raiz · Δ < 0: nenhuma raiz real

        −b ± √Δ       −(___) ± √___
x = ─────────── = ───────────────
          2a            2·(___)

x′ = ___     x″ = ___

Confere:  x′ + x″ = −b/a     x′ · x″ = c/a

Exemplo Q01: x² − x − 2 → a=1, b=−1, c=−2 → Δ = 1 + 8 = 9 → x = (1 ± 3)/2 → x′ = 2, x″ = −1. Confere: 2 + (−1) = 1 = −b/a ✔ · 2·(−1) = −2 = c/a ✔

📝 No papel

xᵥ = −b / (2a) = ___          yᵥ = −Δ / (4a) = ___
Vértice V = (xᵥ , yᵥ)

a > 0 → parábola para CIMA ∪ → vértice é MÍNIMO → Im = [yᵥ, +∞)
a < 0 → parábola para BAIXO ∩ → vértice é MÁXIMO → Im = (−∞, yᵥ]

"Menor/maior valor de f(x)?" → é o yᵥ. Explique pelo sinal de a.
Gráfico: raízes, ponto (0, c), vértice → curva suave

Q01: xᵥ = 1/2, yᵥ = −9/4 → V = (1/2, −9/4) · a = 1 > 0 → mínimo → Im = {y ≥ −9/4} · menor valor = −9/4 = −2,25.

📝 No papel

1) Escreva na forma ax² + bx + c e identifique a, b, c
2) a < 0 → tem MÁXIMO · a > 0 → tem MÍNIMO (escreva isso!)
3) Leia a pergunta:
   "QUANTAS unidades / qual x?"  → resposta é xᵥ = −b/(2a)
   "QUAL o lucro/custo máximo?"  → resposta é yᵥ = −Δ/(4a)
4) Prova real: substitua xᵥ na função.

Q02 L = −x² + 30x − 5: a=−1 → máximo. Δ = 900 − 20 = 880 → yᵥ = −880/(−4) = 220 (em x = 15).

Q03 C = n² − 100n + 2510: a=1 → mínimo. nᵥ = 100/2 = 50 unidades (custo = 10).

Q04 curral com parede: parede = 1 lado grátis → tela em 3 lados: 2W + L = 400 → L = 400 − 2W. Área A = W·L = −2W² + 400W → Wᵥ = −400/(−4) = 100 m → L = 200 m (área 20.000 m²).

📝 No papel

N(t) = N₀ · bᵗ          N₀ = valor inicial   b = base (fator)
Substitua t:  N(___) = ___ · ___^___
Calcule a POTÊNCIA primeiro, depois multiplique.
t = 0  →  b⁰ = 1  →  N(0) = N₀ (o valor inicial)

Q01: S(2) = 1800 · (1,03)² = 1800 · 1,0609 = R$ 1.909,62 (letra e).
Q02: N(0) = 50·2⁰ = 50 · N(5) = 50·2⁵ = 50·32 = 1.600.
Q03-a: N(6) = 100·2⁶ = 100·64 = 6.400 bactérias.

📝 No papel

N₀ · bᵗ = valor pedido
      bᵗ = valor ÷ N₀ = ___
Escreva ___ como potência de b:  ___ = b^___
      t = ___  (unidade: horas/minutos)

Q03-b: 100·2ᵗ = 12800 → 2ᵗ = 128 = 2⁷ → t = 7 horas.
Q02-c: 50·2ᵗ = 12800 → 2ᵗ = 256 = 2⁸ → t = 8 minutos.

Se não der potência "redonda", use log: t = log(valor÷N₀) ÷ log(b).

📝 Receita: igualar as bases e comparar os expoentes

1) Escreva os dois lados como potência da MESMA base
   (8 = 2³, 32 = 2⁵, 25 = 5², 1/5 = 5⁻¹, 0,1 = 10⁻¹, 5 = 5¹)
2) (bᵐ)ⁿ = bᵐ·ⁿ  →  multiplique os expoentes (distribua o sinal!)
3) Bases iguais → iguala os expoentes → equação do 1º grau
4) Isole x. Entregue FRAÇÃO.

📝 Critério: onde está o x?

f(x) = bˣ  com b > 0 e b ≠ 1  →  x NO EXPOENTE  →  exponencial
x na BASE (x⁵, x^√2)               →  NÃO é (é potência/polinomial)
b > 1 → crescente · 0 < b < 1 → decrescente · sempre passa por (0,1) · Im = ℝ₊

Q04: I) x⁵ não · II) 5ˣ sim · III) (½)ˣ sim · IV) x^(³√2) não → letra d.

📝 O que é log (decore isto)

log_a b = x   significa   aˣ = b    ("a elevado a QUÊ dá b?")
log b  (sem base) = base 10        ln b = base e (e ≈ 2,718)
log_a 1 = 0 · log_a a = 1 · log 10 = 1 · log 100 = 2 · log 0,01 = −2 · ln e = 1 · ln e³ = 3
log (x·y) = log x + log y          log (x/y) = log x − log y
log (xⁿ) = n · log x   ← "o expoente desce": é isso que resolve aˣ = b
Mudança de base:  log_a b = log b ÷ log a
Só existe log de número POSITIVO.

📝 No papel — escolha o caso

CASO 1 · SUBSTITUIÇÃO DIRETA (sempre tente primeiro)
  lim (x→a) f(x) = f(a)
  lim (x→2) (x² + 3x − 1) = 4 + 6 − 1 = 9      ✔ acabou

CASO 2 · deu 0/0 com POLINÔMIO → FATORA e CORTA (x − a)
  lim (x→2) (x² − 4)/(x − 2)
   = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 → 2 + 2 = 4
  lim (x→3) (x² − 5x + 6)/(x − 3)
   Bhaskara: raízes 2 e 3 → (x−2)(x−3)/(x−3) = x − 2 → 1
  Fatorações: x² − a² = (x−a)(x+a)
              ax² + bx + c = a(x − x′)(x − x″)
              x³ − a³ = (x−a)(x² + ax + a²)
              fator comum: x² + 5x = x(x + 5)

CASO 3 · deu 0/0 com RAIZ → multiplica pelo CONJUGADO
  lim (x→4) (√x − 2)/(x − 4)
   × (√x + 2)/(√x + 2)  em cima e embaixo
   = (x − 4) / [(x − 4)(√x + 2)] = 1/(√x + 2) → 1/(2+2) = 1/4
  Conjugado de (√u − k) é (√u + k). (√u − k)(√u + k) = u − k²

CASO 4 · x → ∞ ou x → −∞ → só o termo de MAIOR grau
  lim (x→∞) (3x² + x − 7)/(5x² − 1) → 3x²/5x² = 3/5
  graus iguais   → divisão dos coeficientes
  cima maior     → ±∞ (olhe o sinal)
  baixo maior    → 0
  Polinômio sozinho: só o termo maior → lim (x→∞) (−2x³ + x) = −∞

CASO 5 · número ÷ 0 (não é 0/0) → limite é +∞ ou −∞ (ou não existe)
  Teste com x um pouco menor e um pouco maior que a:
  lim (x→1) 1/(x−1):  x=0,99 → −100 · x=1,01 → +100 → laterais ≠ → não existe
  lim (x→0) 1/x² → +∞ dos dois lados

CASO 6 · função por PARTES / laterais
  x → a⁻ usa a parte de "x < a" · x → a⁺ usa a parte de "x > a"
  laterais iguais → o limite existe e é esse valor · diferentes → não existe

Modelo para preencher:
lim (x→a) f(x) → substituo: ___ → caso _ → fatoro/conjugado: ________ → simplifico: ______ → substituo: ___