Colinhas — Cálculo · Estatística · Álgebra Linear (2026/2)

0. Calculadora AK-J001 — o básico que vale para tudo

Ela faz conta, não pensa. Não resolve equação, não faz matriz, não deriva, não integra, não faz mediana nem moda. O que ela faz bem: fração, potência/raiz/log, média e desvio (modo STAT) e memória.

0.1 Mapa de teclas e os 5 avisos 🏋️ treinar

Tecla	Serve para
`SHIFT`	Ativa o que está escrito em amarelo em cima da tecla
`a b/c`	Fração. `SHIFTa b/c` = troca fração mista ↔ imprópria
`(−)`	Sinal de negativo (número negativo). NÃO é o `−` de subtrair
`x^y` (ou `^`)	Potência: base `x^y` expoente
`SHIFTx^y` (ˣ√)	Raiz enésima: índice `SHIFTx^y` número
`√` · `x²`	Raiz quadrada · elevar ao quadrado
`log` · `ln`	Achar expoente: `log` b `÷` `log` a
`M+` `MR` `MC`	Guardar / ler / zerar a memória
`MODE` `2` → SD	Entra no modo estatístico. `MODE` `1` sai
`AC`	Limpa a conta (NÃO limpa a memória)

5 avisos: ① Digite ponto (1.03), nunca vírgula — e volte a escrever vírgula no papel. ② Número negativo é (−), não −. ③ M+ soma na memória: sempre MC antes de guardar algo novo. ④ Antes de um STAT novo: SHIFTCLR1= (limpa dados). ⑤ Terminou o STAT? MODE1 para voltar ao normal.

Travou/ficou estranha: SHIFTCLR3= (reset) ou o furinho RESET atrás.

0.2 Fração — tecla a b/c 🏋️ treinar

📝 Como digitar

Quero	Digito	Visor
2/3	`2a b/c3`	2⌐3
1 e 7/15 (mista)	`1a b/c7a b/c15`	1⌐7⌐15
−3/4	`(−)3a b/c4`	-3⌐4

🔢 As 3 conversões

Mista ↔ imprópria: SHIFTa b/c (1⌐7⌐15 ↔ 22⌐15)
Fração ↔ decimal: a b/c sozinha, com o resultado na tela
Simplificar: só apertar = (12⌐10 = → 1⌐1⌐5 = 6/5)

Deu decimal e quer fração? a b/c transforma 1.666666667 em 1⌐2⌐3 = 5/3.

0.3 Modo STAT — média e desvio padrão em 7 passos 🏋️ treinar

🔢 Roteiro (decore a ordem)

MODE 2                 → entra no SD/STAT
SHIFT CLR 1 =          → LIMPA dados antigos (sempre!)
valor M+  (M+ = DT)    → repete para cada número
SHIFT S-SUM 3 =        → n  (confere se bateu a quantidade)
SHIFT S-VAR 1 =        → x̄  média
SHIFT S-VAR 2 =        → σx desvio POPULACIONAL (÷ n)
SHIFT S-VAR 3 =        → sx desvio AMOSTRAL (÷ n−1)
MODE 1                 → sai do STAT

Variância = pegue o desvio e aperte x².
Σx (soma): SHIFTS-SUM2=

📝 Dados com frequência (tabela)

Não digite o mesmo número 12 vezes. Use:

valor SHIFT , frequência M+

Ex.: nota 6 com 13 alunos → 6SHIFT,13M+

Sempre confira o n: se o enunciado diz 50 alunos e deu 47, uma frequência está errada. Limpe e refaça.

Se seu teclado não mostra S-SUM/S-VAR: tente SHIFT1 e SHIFT2. Descubra em casa, não na prova.

0.4 Memória — guardar um número para usar de novo 🏋️ treinar

🔢 Guardar e usar

MC → zera a memória (aparece/some o "M" no visor)
número na tela → M+ → guardou
Onde precisar do número, aperte MR

📝 Quando usar

Bhaskara: guardar √Δ e usar em x′ e x″
Frequência relativa: guardar n e fazer fi ÷ MR × 100 para cada linha
Determinantes/Cramer: guardar o D e dividir Dx ÷ MR, Dy ÷ MR…

1. Cálculo Diferencial

Prova N1 25/09 + VT1 (Reforço ex. 01–11 · Funções 1º/2º grau e exponencial). Fontes: reforco-matematica-basica.pdf, vt01-parte2-funcoes…pdf, material-plano-cartesiano-e-funcoes.pdf.

1.0 Conjuntos numéricos, regra de sinais e dízimas 🏋️ treinarReforço ex. 01, 02, 04 — V ou F e continhas

📝 No papel

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R      I (irracionais) = R − Q      Z ∩ I = ∅
N = {0,1,2,…}  Z = {…,−2,−1,0,1,2,…}  Q = frações p/q (q≠0), decimais finitos e dízimas periódicas
I = √2, √3, π, 1,57329… (sem período)     R = tudo isso junto

Testar "∈ Q?":  dá pra escrever como fração?  → 2/3 sim · 0,111… = 1/9 sim · √3 não
Cuidado: √12/√3 = √4 = 2 ∈ Q (F em "∉ Q") · 62/31 = 2 ∈ Z (então NÃO está em Q − Z)
Dízima → fração:  x = 0,111…  10x = 1,111…  10x − x = 1 → x = 1/9
                  0,999… = 1   logo 1,999… = 2 ∈ N
∈ é para ELEMENTO (1 ∈ A) · ⊂ é para CONJUNTO ({1} ⊂ A) · {1} ∈ A é F · ∅ ⊂ A é sempre V

SINAIS:  soma com sinais iguais → soma e repete o sinal (−4 − 3 = −7)
         soma com sinais diferentes → subtrai e fica o sinal do maior (−4 + 3 = −1)
         × e ÷: iguais → + ; diferentes → −   ((−4)·(−3) = 12 · (−56)÷7 = −8)
ORDEM:   parênteses → potência → × ÷ → + −   (2 + 3·5 = 17 · (2+3)·5 = 25)
TERMOS:  x + x = 2x · x·x = x² · −x·(−x) = x² · 2x + 3x = 5x
ZERO:    (qualquer coisa)·0 = 0 · 0 ÷ (−7) = 0 · dividir POR zero não existe

🔢 Na AK-J001

( (−) 4 ) × ( (−) 3 ) =        → 12
3 × 3 + 3 − 3 + 2 × (−) 3 =    → 3    (ela respeita a ordem)
(−) 56 ÷ 7 =                   → -8
√ 12 ÷ √ 3 =                   → 2    (é racional!)
1 a b/c 9 =  → a b/c  → 0.1111…  (confere a dízima)

Tecla (−) para número negativo; − só entre dois números. "4 − × 3" dá erro.

1.1 Somar, subtrair, multiplicar e dividir frações 🏋️ treinarReforço ex. 04, 05, 09 — a professora quer o MMC escrito

📝 No papel

Soma/subtração (precisa do MMC):

MMC(b, d) = M     ← fatoração ao lado

  a     c     (M÷b)·a  +  (M÷d)·c      ___
 ─── + ───  = ──────────────────────  = ───
  b     d              M                 M

Fatoração do MMC (divide pelo menor primo que dividir pelo menos um; quem não divide, repete):

4, 6 | 2
2, 3 | 2
1, 3 | 3
1, 1 |      MMC = 2·2·3 = 12

Multiplicação: em cima × em cima, embaixo × embaixo (sem MMC).

Divisão: mantém a primeira, inverte a segunda e multiplica.

Fração composta: resolve o de cima, resolve o de baixo, depois divide.

Exemplo resolvido: 3/4 − 1/6 → MMC 12 → 9/12 − 2/12 = 7/12

🔢 Na AK-J001 (só para conferir o resultado)

3 a b/c 4 − 1 a b/c 6 =        → 7⌐12
2 a b/c 3 × 5 a b/c 7 =        → 10⌐21
4 a b/c 5 ÷ 2 a b/c 3 =        → 1⌐1⌐5  (= 6/5)
( 1 a b/c 5 + 1 a b/c 3 ) ÷ ( 3 a b/c 5 + 1 a b/c 15 ) =  → 4⌐5

Fração composta: parênteses em cima e embaixo, senão dá outra coisa. A calculadora acerta sem MMC, mas a prova quer o MMC no papel.

1.2 Potência, raiz e notação científica 🏋️ treinarReforço — parte de potenciação (para estudar)

📝 Regras que resolvem tudo

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ	(a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	a⁰ = 1 · a¹ = a
(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ	ⁿ√aᵐ = aᵐ/ⁿ
√(a·b) = √a · √b	ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿ·ᵐ√a

Ordenar raízes diferentes (ex. 06: √3, ³√5, ⁴√7): leve ao mesmo índice = MMC(2,3,4) = 12 → ¹²√3⁶, ¹²√5⁴, ¹²√7³ = ¹²√729, ¹²√625, ¹²√343 → ⁴√7 < ³√5 < √3.

Decore: 2¹…2¹⁰ = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 · 3¹…3⁵ = 3, 9, 27, 81, 243 · 5¹…5⁴ = 5, 25, 125, 625

🔢 Na AK-J001

2 x^y 5 =              → 32
2 x^y (−) 3 =          → 0.125  (= 1/8)
( (−) 2 ) x^y 4 =      → 16     (parênteses!)
16 x^y ( 1 a b/c 4 ) = → 2      (16^(1/4))
√ 880 =                → 29.66
3 SHIFT x^y 8 =        → 2      (³√8)
4 SHIFT x^y 7 =        → 1.6266 (⁴√7)
6 EXP 4 + 2 EXP 5 =    → 260000 (6·10⁴ + 2·10⁵)

Para comparar raízes, calcule os decimais e ordene — mas escreva o método do índice comum no papel.

1.3 Conjuntos: união, interseção, diferença e "quantos não cursam nem…" 🏋️ treinarReforço ex. 02, 03 · VT Parte 2 Q01

📝 No papel

A ∪ B ("ou"): junta tudo, sem repetir.
A ∩ B ("e"): só o que está nos dois.
A − B: o que está em A e NÃO está em B.
∈ = elemento pertence · ⊂ = conjunto está contido · ∅ ⊂ qualquer conjunto (sempre V).

Exemplo Q01: A={-1,0,1,2,3,4,5}  B={-1,0,2,4,5,7}
A ∪ B = {-1,0,1,2,3,4,5,7}
A ∩ B = {-1,0,2,4,5}
Confere: n(A)+n(B) = n(A∪B)+n(A∩B) → 7+6 = 8+5 ✔

Fórmula dos "quantos":

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
         = ___ + ___ − ___ = ___
Nem A nem B = total − n(A ∪ B)

Ex. 03-d: 8 + 10 − 3 = 15 cursam algo → 22 − 15 = 7 não cursam nenhum.
Ex. 03-e: 90 + 50 − 30 = 110.

🔢 Na AK-J001

Só a soma final: 8+10−3= → 15; 22−15= → 7.

Desenhe o diagrama de Venn: primeiro o meio (∩), depois o resto de cada círculo, depois o "fora".

1.4 Produtos notáveis e fatoração 🏋️ treinarReforço ex. 10 e 11 — zero calculadora

📝 Decore e aplique

(x + a)²	= x² + 2ax + a²
(x − a)²	= x² − 2ax + a²
(x + a)³	= x³ + 3ax² + 3a²x + a³
(x − a)³	= x³ − 3ax² + 3a²x − a³
m³ + n³	= (m + n)(m² − mn + n²)
m³ − n³	= (m − n)(m² + mn + n²)
x² − a²	= (x + a)(x − a)

Ex. 10-a: (x+4)² = x² + 8x + 16 · Ex. 10-c: (x−4)³ = x³ − 12x² + 48x − 64

🔢 Na AK-J001 (conferência)

Troque x por 2 dos dois lados: (2+4)x²= → 36 e 2x²+8×2+16= → 36 ✔. Se der diferente, a expansão está errada.

1.5 Achar a lei da função do 1º grau por 2 pontos 🏋️ treinarVT Parte 2 Q02 — y = ax + b

Quando: "obtenha a lei da função que passa pelos pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂)" / "coeficiente angular e linear".

📝 No papel

Pontos: (x₁, y₁) = (__, __)   (x₂, y₂) = (__, __)

1) a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (___ − ___)/(___ − ___) = ___
2) b: pega UM ponto e substitui em y = ax + b
      y₁ = a·x₁ + b  →  b = y₁ − a·x₁ = ___
3) Lei:  y = ___x + ___
4) Prova real com o OUTRO ponto.
   a = coeficiente angular · b = coeficiente linear

Exemplo Q02: (−1, 2) e (2, −1) → a = (−1 − 2)/(2 − (−1)) = −3/3 = −1 · 2 = −1·(−1) + b → b = 1 → y = −x + 1. Prova: y(2) = −2 + 1 = −1 ✔

🔢 Na AK-J001

( (−) 1 − 2 ) ÷ ( 2 − (−) 1 ) =   → -1     (o a)
2 − ( (−) 1 × (−) 1 ) =            → 1      (o b)

Mesma ordem em cima e embaixo (2º ponto − 1º ponto nos dois). Números negativos com (−).

1.6 Crescente ou decrescente? 🏋️ treinarVT Parte 2 Q03 e Q05-a

📝 No papel — só olhe o sinal de a (o número que multiplica x)

y = ___x + ___   →  a = ___
a > 0  →  CRESCENTE
a < 0  →  DECRESCENTE
Justificativa: "Como a = ___ (sinal ___), a função é ___."

Q03: y = 10x − 4 (a=10) crescente · y = −6x (a=−6) decrescente · y = −x + 2 (a=−1) decrescente · y = (3/2)x (a=3/2) crescente.

Cuidado com f(x) = −4 − 3x: reorganize para f(x) = −3x − 4 → a = −3, b = −4.

🔢 Na AK-J001

Nada. É leitura do sinal.

1.7 Análise completa de f(x) = ax + b 🏋️ treinarVT Parte 2 Q05: raiz, intercepto, sinal, f(x)=k, f(k)=?, gráfico, passa pelo ponto?

📝 No papel (modelo com f(x) = −3x − 4)

Pedido	Faça	Exemplo
Raiz	ax + b = 0 → x = −b/a	−3x − 4 = 0 → x = −4/3
Corta o eixo y	ponto (0, b)	(0, −4)
f(x) < 0 (negativa)	resolve ax + b < 0 (se dividir por negativo, INVERTE o sinal)	−3x < 4 → x > −4/3
f(x) > 0 (positiva)	o outro lado da raiz	x < −4/3
"domínio que tem k como imagem"	ax + b = k → isole x	−3x − 4 = −16 → −3x = −12 → x = 4
"imagem que tem domínio k"	substitui x = k	f(−2) = −3(−2) − 4 = 2
Passa por (p, q)?	calcula f(p) e compara com q	f(−1) = 3 − 4 = −1 → sim, passa por (−1,−1)
Esboço	marca (0, b) e (raiz, 0), traça a reta com régua	(0,−4) e (−4/3, 0)

🔢 Na AK-J001

Raiz:      (−) 4 a b/c 3 =        → -1⌐1⌐3  (escreva −4/3)
f(x)=−16:  (−) 12 ÷ (−) 3 =       → 4
f(−2):     (−) 3 × (−) 2 − 4 =     → 2
Tabela p/ gráfico: repita  (−) 3 × x − 4 =  para x = −2, −1, 0, 1, 2

Ela não isola x. Isolar é no papel: o que passa pelo "=" troca de sinal (soma↔subtração) ou de operação (×↔÷).

1.8 Ler y = ax + b a partir do gráfico 🏋️ treinarVT Parte 2 Q04

📝 No papel

Caminho 1 (o gráfico marca onde corta os eixos):
  b = onde corta o eixo y = ___
  r = onde corta o eixo x (raiz) = ___
  a = −b / r = ___
  y = ___x + ___      → prova real: y(0) = b ✔  y(r) = 0 ✔

Caminho 2 (dois pontos exatos da malha):
  a = Δy/Δx = (sobe)/(anda) → depois b como em 1.5

Q04: f corta y em 4 e x em 7 → a = −4/7 → f(x) = −(4/7)x + 4. g corta y em 3 e x em −1 → a = −3/(−1) = 3 → g(x) = 3x + 3.

Antes da conta: a reta SOBE? então a > 0. DESCE? a < 0. Pega 90% dos erros de sinal.

🔢 Na AK-J001

(−) 4 a b/c 7 =        → -4⌐7   (deixe como fração)
(−) 3 ÷ (−) 1 =        → 3
Prova: (−) 4 a b/c 7 × 7 + 4 =  → 0 ✔

1.9 Problema com gráfico de reta (temperatura, promoção, estádio) 🏋️ treinarVT Parte 2 Q06, Q07, Q08

📝 Receita de 5 passos

1) x = ___ (tempo? quantidade?)   y = ___ (temperatura? valor?)
2) Dois pontos do gráfico: (___, ___) e (___, ___)
3) a = Δy/Δx = ___    b = valor de y quando x = 0 (ou substitua um ponto)
   y = ___x + ___
4) Pergunta:
   "quando y vale K?"   → ___x + ___ = K  → isola x
   "quanto vale y em K?" → substitui x = K
5) Responda COM unidade (min, R$, pessoas…)

Q06 barra de ferro: (0,−10) e (5,30) → a = 40/5 = 8 → T = 8t − 10 → 8t − 10 = 0 → t = 10/8 = 1,25 min = 1 min 15 s.

Q07 promoção: o gráfico dá o TOTAL, a pergunta é POR UNIDADE → calcule V(20) e divida por 20. Pontos subindo (5,50),(30,150): a = 4, V = 4x + 30 → V(20) = 110 → 110/20 = R$ 5,50. (Confira no PDF se os pontos sobem.)

Q08 estádio (função por partes): ache em qual trecho está o valor. 45.000 está no trecho 2 (15h→17h: 30.000 → 90.000). Taxa = 60.000/2h = 30.000/h = 500/min. Faltam 15.000 → 15.000/500 = 30 min → 15h30.

🔢 Na AK-J001

Q06: ( 30 − (−) 10 ) ÷ 5 =   → 8
     10 ÷ 8 =                → 1.25 ; 0.25 × 60 = → 15 s
Q07: ( 150 − 50 ) ÷ ( 30 − 5 ) =  → 4
     4 × 20 + 30 =            → 110 ;  ÷ 20 =  → 5.5
Q08: ( 90000 − 30000 ) ÷ 2 =  → 30000 ; ÷ 60 = → 500
     ( 45000 − 30000 ) ÷ 500 =  → 30

Sanidade: a resposta cai entre os dois pontos usados? 0 °C está entre −10 e 30 → t entre 0 e 5 ✔

1.10 Raízes da função do 2º grau (Bhaskara) 🏋️ treinarVT Parte 2 · 2º grau Q01-a

📝 No papel

f(x) = ax² + bx + c   →   a = ___  b = ___  c = ___   (com sinal!)

Δ = b² − 4·a·c = (___)² − 4·(___)·(___) = ___

Δ > 0: duas raízes · Δ = 0: uma raiz · Δ < 0: nenhuma raiz real

        −b ± √Δ       −(___) ± √___
x = ─────────── = ───────────────
          2a            2·(___)

x′ = ___     x″ = ___

Confere:  x′ + x″ = −b/a     x′ · x″ = c/a

Exemplo Q01: x² − x − 2 → a=1, b=−1, c=−2 → Δ = 1 + 8 = 9 → x = (1 ± 3)/2 → x′ = 2, x″ = −1. Confere: 2 + (−1) = 1 = −b/a ✔ · 2·(−1) = −2 = c/a ✔

🔢 Na AK-J001 (4 passos com memória)

➊ Δ:   ( (−) 1 ) x² − 4 × 1 × ( (−) 2 ) =   → 9
➋ √Δ:  √ 9 =  → 3   ·  MC  ·  M+            (guardou 3)
➌ x′:  ( 1 + MR ) ÷ ( 2 × 1 ) =             → 2
➍ x″:  ( 1 − MR ) ÷ ( 2 × 1 ) =             → -1

Genérico: ➊ ((−)b)x²−4×a×(c)= · ➌ ( −b +MR)÷(2×a)=

b e c negativos: (−) e parênteses. Parênteses em cima E embaixo da fração.

1.11 Vértice, conjunto imagem, maior/menor valor, gráfico 🏋️ treinarVT Parte 2 · 2º grau Q01-b,c,d,e

📝 No papel

xᵥ = −b / (2a) = ___          yᵥ = −Δ / (4a) = ___
Vértice V = (xᵥ , yᵥ)

a > 0 → parábola para CIMA ∪ → vértice é MÍNIMO → Im = [yᵥ, +∞)
a < 0 → parábola para BAIXO ∩ → vértice é MÁXIMO → Im = (−∞, yᵥ]

"Menor/maior valor de f(x)?" → é o yᵥ. Explique pelo sinal de a.
Gráfico: raízes, ponto (0, c), vértice → curva suave

Q01: xᵥ = 1/2, yᵥ = −9/4 → V = (1/2, −9/4) · a = 1 > 0 → mínimo → Im = {y ≥ −9/4} · menor valor = −9/4 = −2,25.

🔢 Na AK-J001

xᵥ:  (−) b ÷ ( 2 × a ) =     ex.: 1 ÷ ( 2 × 1 ) = → 0.5
yᵥ:  (−) Δ ÷ ( 4 × a ) =     ex.: (−) 9 ÷ ( 4 × 1 ) = → -2.25
Para fração: (−) 9 a b/c 4 = → -2⌐1⌐4 → SHIFT a b/c → -9⌐4

Se guardou Δ na memória: (−)MR÷(4×a)=.

1.12 Lucro máximo · custo mínimo · curral (otimização) 🏋️ treinarVT Parte 2 · 2º grau Q02, Q03, Q04

📝 No papel

1) Escreva na forma ax² + bx + c e identifique a, b, c
2) a < 0 → tem MÁXIMO · a > 0 → tem MÍNIMO (escreva isso!)
3) Leia a pergunta:
   "QUANTAS unidades / qual x?"  → resposta é xᵥ = −b/(2a)
   "QUAL o lucro/custo máximo?"  → resposta é yᵥ = −Δ/(4a)
4) Prova real: substitua xᵥ na função.

Q02 L = −x² + 30x − 5: a=−1 → máximo. Δ = 900 − 20 = 880 → yᵥ = −880/(−4) = 220 (em x = 15).

Q03 C = n² − 100n + 2510: a=1 → mínimo. nᵥ = 100/2 = 50 unidades (custo = 10).

Q04 curral com parede: parede = 1 lado grátis → tela em 3 lados: 2W + L = 400 → L = 400 − 2W. Área A = W·L = −2W² + 400W → Wᵥ = −400/(−4) = 100 m → L = 200 m (área 20.000 m²).

Curral: NÃO escreva 2W + 2L = 400. A parede substitui um lado.

🔢 Na AK-J001

Q02: 30 x² − 4 × ( (−) 1 ) × ( (−) 5 ) =  → 880
     (−) 880 ÷ ( 4 × (−) 1 ) =            → 220
     (−) 30 ÷ ( 2 × (−) 1 ) =             → 15
Q03: 100 ÷ ( 2 × 1 ) =                    → 50
     2510 − 100 × 50 + 50 x² =            → 10
Q04: (−) 400 ÷ ( 2 × (−) 2 ) =            → 100
     400 − 2 × 100 =                      → 200 ; 100 × 200 = → 20000

1.13 Exponencial: calcular o valor N(t) 🏋️ treinarVT Exponencial Q01 (ENEM salário), Q02-a,b, Q03-a

📝 No papel

N(t) = N₀ · bᵗ          N₀ = valor inicial   b = base (fator)
Substitua t:  N(___) = ___ · ___^___
Calcule a POTÊNCIA primeiro, depois multiplique.
t = 0  →  b⁰ = 1  →  N(0) = N₀ (o valor inicial)

Q01: S(2) = 1800 · (1,03)² = 1800 · 1,0609 = R$ 1.909,62 (letra e).
Q02: N(0) = 50·2⁰ = 50 · N(5) = 50·2⁵ = 50·32 = 1.600.
Q03-a: N(6) = 100·2⁶ = 100·64 = 6.400 bactérias.

🔢 Na AK-J001

1800 × ( 1 . 0 3 x^y 2 ) =   → 1909.62
50 × 2 x^y 5 =               → 1600
100 × 2 x^y 6 =              → 6400

1,03 se digita 1.03. Escreva a substituição no papel (S(2) = 1800·(1,03)²) — sem ela não pontua.

1.14 Crescimento de bactérias / notícia: achar o tempo t 🏋️ treinarVT Exponencial Q02-c, Q03-b

Quando: "em que instante alcançará ___?" / "tempo necessário para chegar a ___ bactérias?"

📝 No papel

N₀ · bᵗ = valor pedido
      bᵗ = valor ÷ N₀ = ___
Escreva ___ como potência de b:  ___ = b^___
      t = ___  (unidade: horas/minutos)

Q03-b: 100·2ᵗ = 12800 → 2ᵗ = 128 = 2⁷ → t = 7 horas.
Q02-c: 50·2ᵗ = 12800 → 2ᵗ = 256 = 2⁸ → t = 8 minutos.

Se não der potência "redonda", use log: t = log(valor÷N₀) ÷ log(b).

🔢 Na AK-J001

12800 ÷ 100 =          → 128
log 128 ÷ log 2 =      → 7        (o t)
Conferir: 100 × 2 x^y 7 =  → 12800 ✔

Na prova mostre 128 = 2⁷ (igualar bases). O log é seu conferidor — ou a saída quando a base não fecha.

1.15 Equações exponenciais 🏋️ treinarVT Exponencial Q05 (a–i)

📝 Receita: igualar as bases e comparar os expoentes

1) Escreva os dois lados como potência da MESMA base
   (8 = 2³, 32 = 2⁵, 25 = 5², 1/5 = 5⁻¹, 0,1 = 10⁻¹, 5 = 5¹)
2) (bᵐ)ⁿ = bᵐ·ⁿ  →  multiplique os expoentes (distribua o sinal!)
3) Bases iguais → iguala os expoentes → equação do 1º grau
4) Isole x. Entregue FRAÇÃO.

Equação	Passagem	x
8ˣ = 32	2³ˣ = 2⁵ → 3x = 5	5/3
4ˣ = 32	2²ˣ = 2⁵ → 2x = 5	5/2
3ˣ = 1/3	3ˣ = 3⁻¹	−1
4ˣ = 8	2²ˣ = 2³	3/2
2ˣ⁺¹ = 2³ˣ⁻¹	x + 1 = 3x − 1	1
25ˣ⁺¹ = (1/5)³ˣ⁺²	5²ˣ⁺² = 5⁻³ˣ⁻² → 2x+2 = −3x−2	−4/5
5²ˣ = 5	2x = 1	1/2
2ˣ = 6ˣ	bases diferentes só empatam com expoente 0	0
(0,1)ˣ⁻⁵ = 10	10⁻ˣ⁺⁵ = 10¹ → −x + 5 = 1	4

(5⁻¹)³ˣ⁺² = 5⁻³ˣ⁻² — o sinal de menos multiplica os DOIS termos.

🔢 Na AK-J001 (conferir)

log 32 ÷ log 8 =   → 1.666…  → a b/c → 1⌐2⌐3 = 5/3 ✔
log 8 ÷ log 4 =    → 1.5 = 3/2 ✔
log ( 1 a b/c 3 ) ÷ log 3 =  → -1 ✔
Prova real: 8 x^y ( 5 a b/c 3 ) =  → 32 ✔

Regra: se aˣ = b, então x = log b ÷ log a.

1.16 É função exponencial ou não? 🏋️ treinarVT Exponencial Q04

📝 Critério: onde está o x?

f(x) = bˣ  com b > 0 e b ≠ 1  →  x NO EXPOENTE  →  exponencial
x na BASE (x⁵, x^√2)               →  NÃO é (é potência/polinomial)
b > 1 → crescente · 0 < b < 1 → decrescente · sempre passa por (0,1) · Im = ℝ₊

Q04: I) x⁵ não · II) 5ˣ sim · III) (½)ˣ sim · IV) x^(³√2) não → letra d.

🔢 Na AK-J001

Nada. É olhar a posição do x.

1.17 Logaritmos — calcular, resolver e as aplicações do caderno (bactérias 2^0,4t, juros compostos, radioativo) 🏋️ treinarcaderno 14/09 e 18/09 — "questões parecidas vão cair"

📝 O que é log (decore isto)

log_a b = x   significa   aˣ = b    ("a elevado a QUÊ dá b?")
log b  (sem base) = base 10        ln b = base e (e ≈ 2,718)
log_a 1 = 0 · log_a a = 1 · log 10 = 1 · log 100 = 2 · log 0,01 = −2 · ln e = 1 · ln e³ = 3
log (x·y) = log x + log y          log (x/y) = log x − log y
log (xⁿ) = n · log x   ← "o expoente desce": é isso que resolve aˣ = b
Mudança de base:  log_a b = log b ÷ log a
Só existe log de número POSITIVO.

🔢 Teclas

log 100 =          → 2
log 0.01 =         → -2
ln ( e^x 3 ) =     → 3     (e^x é SHIFT ln; ou saiba: ln e³ = 3)
log 8 ÷ log 2 =    → 3     (log₂ 8)
2 x^y 5 =          → 32    (log₂ x = 5 → x = 2⁵)

Caderno ex. 2 — y = ln e³ + log 0,01

#	📝 No papel	🔢 Na AK-J001	Visor
1	ln e³ = 3·ln e = 3·1 = 3 (o expoente desce; ln e = 1)	`3×lnSHIFTln1=` (ou saiba de cor)	3
2	log 0,01 = log 10⁻² = −2·log 10 = −2·1 = −2	`log0.01=`	−2
3	y = 3 + (−2) = 1	`3+log0.01=`	1

Caderno ex. 3 — bactérias N(t) = 1200·2^(0,4t)

#	📝 No papel	🔢 Na AK-J001	Visor
a1	Quando terá 38.400? → 1200·2^(0,4t) = 38400 → 2^(0,4t) = 38400/1200 = 32	`38400÷1200=`	32
a2	32 = 2⁵ → 0,4t = 5 → t = 5/0,4 = 12,5 h = 12 h 30 min	`5÷0.4=` · conferir: `log32÷log2=` → 5	12.5
b1	Quando terá 40.000? → 2^(0,4t) = 40000/1200 = 33,33… (não é potência de 2 → usa log)	`40000÷1200=`	33.333
b2	0,4t = log 33,33 / log 2 = 5,059 → t = 5,059/0,4 = 12,647 h	`log33.333÷log2=` → 5.059 · `÷0.4=`	12.647
b3	0,647 h × 60 = 38,8 min → t ≈ 12 h 39 min	`0.647×60=`	38.8

Caderno ex. 4 — juros compostos M = C·(1 + i)ᵗ (C = 500, i = 3,5% ao mês, M = 3500)

#	📝 No papel	🔢 Na AK-J001	Visor
1	i = 3,5% = 3,5/100 = 0,035 → 3500 = 500·(1,035)ᵗ	`3.5÷100=`	0.035
2	(1,035)ᵗ = 3500/500 = 7	`3500÷500=`	7
3	t·log 1,035 = log 7 → t = log 7 / log 1,035 ≈ 56,6 meses (≈ 4 anos e 9 meses)	`log7÷log1.035=`	56.56
4	Prova: 500 × 1,035^56,56 ≈ 3500 ✔	`500×1.035x^y56.56=`	≈ 3500

Para casa — decaimento radioativo Q(t) = Q₀·e^(−r·t) (1000 g → 200 g, r = 2% ao ano)

#	📝 No papel	🔢 Na AK-J001	Visor
1	200 = 1000·e^(−0,02t) → e^(−0,02t) = 200/1000 = 0,2	`200÷1000=`	0.2
2	Aplica ln nos dois lados (ln e^k = k): −0,02t = ln 0,2 = −1,609	`ln0.2=`	−1.609
3	t = −1,609 / (−0,02) ≈ 80,5 anos	`÷(−)0.02=`	80.47

Receita única para "achar o tempo": ① isola a potência (divide pelo número da frente) ② se der potência redonda (32 = 2⁵), iguala expoentes; senão ③ aplica log (ou ln se a base é e) nos dois lados e o expoente desce ④ divide.

1.18 Limites — colinha do passo a passo 🏋️ treinarcaderno 18/09 (definição, propriedades, exercício 1) + os casos "mais complexos" (fatoração, raiz, infinito)

Ordem sempre igual: ① substitui → ② deu número? acabou · deu 0/0? vai para o truque certo → ③ substitui de novo → ④ confere na calculadora com x um pouquinho antes e depois.

📝 No papel — escolha o caso

CASO 1 · SUBSTITUIÇÃO DIRETA (sempre tente primeiro)
  lim (x→a) f(x) = f(a)
  lim (x→2) (x² + 3x − 1) = 4 + 6 − 1 = 9      ✔ acabou

CASO 2 · deu 0/0 com POLINÔMIO → FATORA e CORTA (x − a)
  lim (x→2) (x² − 4)/(x − 2)
   = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2 → 2 + 2 = 4
  lim (x→3) (x² − 5x + 6)/(x − 3)
   Bhaskara: raízes 2 e 3 → (x−2)(x−3)/(x−3) = x − 2 → 1
  Fatorações: x² − a² = (x−a)(x+a)
              ax² + bx + c = a(x − x′)(x − x″)
              x³ − a³ = (x−a)(x² + ax + a²)
              fator comum: x² + 5x = x(x + 5)

CASO 3 · deu 0/0 com RAIZ → multiplica pelo CONJUGADO
  lim (x→4) (√x − 2)/(x − 4)
   × (√x + 2)/(√x + 2)  em cima e embaixo
   = (x − 4) / [(x − 4)(√x + 2)] = 1/(√x + 2) → 1/(2+2) = 1/4
  Conjugado de (√u − k) é (√u + k). (√u − k)(√u + k) = u − k²

CASO 4 · x → ∞ ou x → −∞ → só o termo de MAIOR grau
  lim (x→∞) (3x² + x − 7)/(5x² − 1) → 3x²/5x² = 3/5
  graus iguais   → divisão dos coeficientes
  cima maior     → ±∞ (olhe o sinal)
  baixo maior    → 0
  Polinômio sozinho: só o termo maior → lim (x→∞) (−2x³ + x) = −∞

CASO 5 · número ÷ 0 (não é 0/0) → limite é +∞ ou −∞ (ou não existe)
  Teste com x um pouco menor e um pouco maior que a:
  lim (x→1) 1/(x−1):  x=0,99 → −100 · x=1,01 → +100 → laterais ≠ → não existe
  lim (x→0) 1/x² → +∞ dos dois lados

CASO 6 · função por PARTES / laterais
  x → a⁻ usa a parte de "x < a" · x → a⁺ usa a parte de "x > a"
  laterais iguais → o limite existe e é esse valor · diferentes → não existe

Modelo para preencher:
lim (x→a) f(x) → substituo: ___ → caso _ → fatoro/conjugado: ________ → simplifico: ______ → substituo: ___

🔢 Na AK-J001 — conferir em 3 teclas por lado

PASSO 1: escolha x = a − 0.01 e x = a + 0.01
PASSO 2: calcule f nos dois (use parênteses)
PASSO 3: os dois deram quase o mesmo número → é o limite

Ex. caso 2 (x→2 de (x²−4)/(x−2)):
( 1.99 x² − 4 ) ÷ ( 1.99 − 2 ) =   → 3.99
( 2.01 x² − 4 ) ÷ ( 2.01 − 2 ) =   → 4.01     ⇒ 4 ✔

Ex. caso 3 (x→4 de (√x−2)/(x−4)):
( √ 3.99 − 2 ) ÷ ( 3.99 − 4 ) =    → 0.2501
( √ 4.01 − 2 ) ÷ ( 4.01 − 4 ) =    → 0.2499   ⇒ 0.25 = 1/4 ✔

Ex. caso 4 (x→∞): use x = 1000
( 3 × 1000 x² + 1000 − 7 ) ÷ ( 5 × 1000 x² − 1 ) =  → 0.6002 ⇒ 3/5 ✔

Decimal → fração: 0.25 a b/c → 1⌐4

Bhaskara para fatorar (caso 2): use a colinha 1.10
  raízes x′ e x″ → escreve a(x − x′)(x − x″)

Ela NÃO calcula limite nem simplifica. Se você digitar x = 2 direto no caso 2, dá "Math ERROR" (0/0) — isso é o sinal de que precisa fatorar.

Sinal de ∞: no caso 5, se um lado deu −100 e o outro +100, o limite não existe. Se os dois deram +grande, é +∞.

Propriedades (caderno 18/09) — o que a professora passou no quadro

Propriedade	Como usar	Exemplo do caderno
lim b = b (constante)	o limite de um número é ele mesmo	lim (x→9) 7 = 7
lim xⁿ = cⁿ	substitui e eleva	lim (x→−2) x⁵ = (−2)⁵ = −32
lim [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ	primeiro o limite de dentro, DEPOIS eleva	lim (x→1) [(2x²−x+1)/(3x)]² = [(2−1+1)/3]² = (2/3)² = 4/9
lim ⁿ√f(x) = ⁿ√(lim f(x))	primeiro o limite de dentro, DEPOIS a raiz	lim (x→2) ³√(x³+2x²) = ³√(8+8) = ³√16 ≈ 2,52
lim f/g = (lim f)/(lim g), se g ≠ 0	substitui em cima e embaixo	lim (x→1) (x²+3)/(4x−2) = 4/2 = 2

Exercício 1 do caderno (18/09), passo a passo

Item	📝 No papel	🔢 Na AK-J001	Resposta
a) lim (x→9) 7	constante → 7	—	7
b) lim (x→−2) x⁵	(−2)⁵	`((−)2)x^y5=`	−32
c) lim (x→2) (x²+x−2)	2² + 2 − 2	`2x²+2−2=`	4
d) lim (x→1) (x²+3)/(4x−2)	(1+3)/(4−2) = 4/2	`(1x²+3)÷(4×1−2)=`	2
e) lim (x→1) [(2x²−x+1)/(3x)]²	dentro: (2−1+1)/3 = 2/3 → depois (2/3)²	`((2−1+1)÷3)x²=` → 0.444 → `a b/c` → 4⌐9	4/9
f) lim (x→2) (x²−4)/(x−2)	substitui: 0/0 → fatora (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 → 2+2	`(1.99x²−4)÷(1.99−2)=` → 3.99 (confere)	4
Ex. da aula: lim (x→3) (x+1)	3 + 1	—	4

Colchete/parêntese elevado a n, ou raiz por fora: resolva o de dentro primeiro, escreva "= [ ... ]ⁿ" e só então eleve. É a única "complicação" desses exercícios.

📋 Respostas das listas de Cálculo (para reconhecer o exercício repetido na prova)

Reforço (VT1 Parte 1)

Q	Resposta
01 V/F	a V · b V · c V · d V · e F · f V · g V · h F · i V · j V · k F · l F · m V · n V · o V · p V · q F · r V · s F · t V
02	a V · b F · c F · d V · e V
03	A∩B={1,3} · A∪B={1,2,3,4,5} · A−B={2,4} · d) 7 · e) 110
04	2x · −2x · 12 · −x · 3 · x² · x² · 12 · −12 · −12 · 12 · 1 · −1 · −7 · 17 · 0 · 5x · 25 · 8 · −8 · 8 · 5/6 · 0
05	esq.: 10 · 4 · −8 · 4 — dir.: −4/5 · −11/14 · −0,4
06	10/7 · −10/7 · −22/63 · 4/3
07	3/8 · −21/25 · 5/6 · 2/3
08	−2/3 · −7/11 · 9/10
09	a) 2 · b) z = −1 · simplifique: −1 (y ≠ 1)
10	x²+8x+16 · x²−8x+16 · x³−12x²+48x−64 · x³+12x²+48x+64
11	(m+n)(m²−mn+n²) · (m−n)(m²+mn+n²)

Funções (VT1 Parte 2)

Q	Resposta
1º grau 01	A∪B={−1,0,1,2,3,4,5,7} · A∩B={−1,0,2,4,5}
02	y = −x + 1 (a = −1, b = 1)
03	cresc · decresc · decresc · cresc
04	f(x) = −(4/7)x + 4 · g(x) = 3x + 3
05	decresc · raiz −4/3, a=−3, b=−4 · (0,−4) · neg. x>−4/3 · x=4 · pos. x<−4/3 · f(−2)=2 · passa por (−1,−1)
06	1,25 min (1 min 15 s)
07	R$ 5,50/un (pontos subindo) — conferir gráfico
08	15h30
2º grau 01	raízes 2 e −1 · V(1/2, −9/4) · Im y ≥ −9/4 · mínimo −9/4
02 · 03 · 04	lucro máx 220 · 50 unidades · 100 m × 200 m
Expo 01	e) R$ 1.909,62
02 · 03	50 · 1600 · t = 8 min — 6400 · t = 7 h
04	d) I e IV não são exponenciais
05	5/3 · 5/2 · −1 · 3/2 · 1 · −4/5 · 1/2 · 0 · 4
📓 Log 2	ln e³ + log 0,01 = 1
📓 Log 3	1200·2^(0,4t): 38.400 → 12,5 h · 40.000 → ≈ 12 h 39 min
📓 Log 4	3500 = 500·1,035ᵗ → t ≈ 56,6 meses
📓 Radioativo	1000 g → 200 g, 2%/ano: t ≈ 80,5 anos
📓 Limites 1	7 · −32 · 4 · 2 · 4/9 · 4

2. Estatística Aplicada

Prova N1 21/09 + VT01 (ex. 1–10, manuscrito). Fontes: VT01-TRABALHO…pdf, material-tabelas-de-frequencia-e-graficos.pdf. Regressão não aparece na ementa nem nas listas — não incluída.

2.0 População, amostra, parâmetro e estatística 🏋️ treinarRevisão N1 — Parte 1 (Q1, Q2, Q3)

📝 No papel — 3 palavras

POPULAÇÃO  = TODOS (o grupo inteiro que se quer estudar)
AMOSTRA    = a PARTE que foi realmente pesquisada/selecionada
ESTATÍSTICA (estimativa) = o NÚMERO calculado a partir da amostra
                            (a média de 32 anos, os R$ 48.000)
Responda no contexto: "A população são os 800 clientes ativos;
a amostra são os 120 clientes selecionados."

Q1: população = 800 clientes · amostra = 120 clientes.
Q2: 350 funcionários = população · 40 selecionados = amostra · média 32 anos = estatística (estimativa da média da população).
Q3: população = todas as empresas do setor · amostra = as 25 empresas analisadas · estatística = média de R$ 48.000 (estimativa da despesa média).

🔢 Na AK-J001

Nada — é texto.

2.1 Classificar variáveis 🏋️ treinarVT01 Q1 e Q2

📝 No papel — 2 perguntas

É número?  NÃO → QUALITATIVA
              tem ordem (ensino médio < superior)? → ORDINAL
              não tem ordem (sexo, nome, cor)?     → NOMINAL
           SIM → QUANTITATIVA
              só conta inteiro (nº filhos, carros)? → DISCRETA
              pode ter vírgula (salário, altura, tempo 3,5 anos)? → CONTÍNUA

📓 Revisão Q4–Q9: canal de vendas (loja/site/app/telefone) → qualit. nominal · nº de funcionários contratados por mês → quant. discreta · nível de satisfação (muito insatisfeito … muito satisfeito) → qualit. ordinal · valor do ativo total (R$) → quant. contínua · quantidade de cursos feitos → quant. discreta · tempo navegando no site (min) → quant. contínua.

Q1: a) colunas do jornal (excelente/boa/ruim) → qualit. ordinal · b) escolaridade → qualit. ordinal · c) vendas anuais (R$) → quant. contínua · d) marcas de desodorante → qualit. nominal · e) tamanhos P/M/G → qualit. ordinal · f) nº de livros retirados → quant. discreta.

Q2: Nome e Sexo → qualitativa nominal · Escolaridade → qualitativa ordinal · Salário e Tempo de serviço → quantitativa contínua (o "3,5 anos" prova).

🔢 Na AK-J001

Nada.

2.2 Tabela de frequência: fi, FA, fr%, FR 🏋️ treinarVT01 Q3 e Q10-a

📝 No papel

1) Rol: ordene os dados (crescente)
2) fi = quantas vezes cada valor aparece         Σfi = n
3) FA = acumulada: FA₁ = f₁ ; FAᵢ = fᵢ + FAᵢ₋₁    última FA = n
4) fr% = (fi ÷ n) × 100                           Σfr = 100%
5) FR% = acumulada da fr

| valor | fi | FA | fr% | FR% |
| ___   | __ | __ | ___ | ___ |
| Total | n  |    | 100 |     |

Q3 (n = 40): 17 anos fi=8 → 8/40·100 = 20% · 18: 20 → 50% · 19: 7 → 17,5% · 20: 5 → 12,5%. Soma 100 ✔

3 conferências: Σfi = n · última FA = n · Σfr = 100%. Se uma falhar, tem conta errada.

🔢 Na AK-J001 (guarde o n na memória)

MC  40  M+                (n guardado)
8  ÷ MR × 100 =   → 20
20 ÷ MR × 100 =   → 50
7  ÷ MR × 100 =   → 17.5
5  ÷ MR × 100 =   → 12.5
Conferir tabela: MC 40 M+  8 M−  20 M−  7 M−  5 M−  MR → 0 ✔

2.2b Montar a tabela de frequência a partir dos dados brutos e tirar média, mediana e moda, passo a passo 🏋️ treinarRevisão Q13 (15 sistemas) — modelo da tabela que a professora usa

Dados: 3, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 5, 3         n = 15

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001	Visor
1	Rol: 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 (risque cada número ao copiar)	—	—
2	Conte cada valor → coluna fi: 2→2 · 3→5 · 4→3 · 5→3 · 6→1 · 7→1 · Σfi = 15 ✔	`2+5+3+3+1+1=`	15 ✔
3	FA (acumulada): 2, 7, 10, 13, 14, 15 (a última = n ✔)	vai somando: 2 + 5 = 7, + 3 = 10 …	—
4	fr% = fi/n·100: 13,33 · 33,33 · 20 · 20 · 6,67 · 6,67 (Σ = 100 ✔)	`MC15M+` · `2÷MR×100=` · `5÷MR×100=` …	13.33 · 33.33 …
5	x·fi: 4 · 15 · 12 · 15 · 6 · 7 → Σ(x·fi) = 59	`2×2+3×5+4×3+5×3+6×1+7×1=`	59
6	b) Média x̄ = Σ(x·fi)/Σfi = 59/15 ≈ 3,93 erros	`59÷15=` (ou STAT: 2 SHIFT , 2 M+ · 3 SHIFT , 5 M+ … → S-VAR 1)	3.933
7	c) Mediana: Σfi/2 = 7,5 → primeira FA > 7,5 é 10 (linha do 4) → Md = 4	`15÷2=`	7.5
8	d) Moda: maior fi = 5 → Mo = 3	—	—

A tabela da professora tem exatamente estas colunas: x | fi | FA | fr% | x·fi e a linha Total com n = Σfi e Σ(x·fi). Monte igual.

2.3 Média 🏋️ treinarVT01 Q4 (lista simples) · Q8, Q9, Q10 (tabela de frequência)

📝 No papel

LISTA SIMPLES:
  x̄ = Σx / n = (___ + ___ + … ) / ___ = ___

TABELA (valor xi com frequência fi) — média PONDERADA:
  monte a coluna xi·fi e some
  x̄ = Σ(xi·fi) / Σfi = ___ / ___ = ___
  ⚠ divide pelo TOTAL de pessoas (Σfi), não pelo nº de linhas

COM PESOS (nota × peso):  x̄p = Σ(nota·peso) / Σpesos
MÉDIA DE DOIS GRUPOS:     x̄ = (n₁·x̄₁ + n₂·x̄₂) / (n₁ + n₂)

📓 Revisão Q10 (12 técnicos: 8,10,7,12,10,9,8,10,6,9,11,10): rol 6,7,8,8,9,9,10,10,10,10,11,12 · x̄ = 110/12 ≈ 9,17 · Me = (9+10)/2 = 9,5 · Mo = 10.
📓 Revisão Q11 (pesos): (8·4 + 9·3 + 7·3)/(4+3+3) = (32+27+21)/10 = 80/10 = 8,0.
📓 Revisão Q12 (30 funcionários; Adm tem 10 a menos que Com → Adm = 10, Com = 20): x̄ = (10·3200 + 20·2800)/30 = (32000 + 56000)/30 = 88000/30 ≈ R$ 2.933,33.

Q4: (10+14+13+15+16+18+12)/7 = 98/7 = 14 litros.
Q8 (energia, 12 meses): Σx = 2796 → 2796/12 = 233 kWh.
Q9: Σ(xi·fi) = 296, n = 50 → 5,92.
Q10 (Loja BETA: 1 SM×22, 2×10, 3×3, 4×3, 5×2): n = 40 pessoas · Σ(xi·fi) = 73 → 1,825 SM.

🔢 Na AK-J001 (modo STAT)

Pesos (Q11): 8 SHIFT , 4 M+  9 SHIFT , 3 M+  7 SHIFT , 3 M+  → S-VAR 1 → 8
             (ou direto: ( 8 × 4 + 9 × 3 + 7 × 3 ) ÷ 10 = → 8)
Grupos (Q12): ( 10 × 3200 + 20 × 2800 ) ÷ 30 =  → 2933.33
Lista:   MODE 2 · SHIFT CLR 1 =
         10 M+ 14 M+ 13 M+ 15 M+ 16 M+ 18 M+ 12 M+
         SHIFT S-SUM 3 = → 7 (n ✔) · SHIFT S-VAR 1 = → 14
Tabela:  MODE 2 · SHIFT CLR 1 =
         2 SHIFT , 1 M+   3 SHIFT , 3 M+   4 SHIFT , 6 M+ …
         SHIFT S-SUM 3 = → 50 (n ✔) · SHIFT S-VAR 1 = → 5.92
Sair:    MODE 1

Σx aparece em SHIFTS-SUM2= — é o Σ(xi·fi) para escrever no papel.

2.4 Mediana 🏋️ treinarVT01 Q5 (n ímpar), Q6 (n par), Q8, Q9, Q10 (tabela)

📝 No papel — 100% manual

LISTA:
  1) ORDENE (rol)      2) conte n
  n ÍMPAR → Me = termo da posição (n+1)/2
  n PAR   → Me = média dos termos das posições n/2 e n/2 + 1

TABELA de frequência:
  1) n/2 = ___      2) monte a coluna FA
  3) primeira FA ≥ n/2 → Me = o xi dessa linha

Q5 (15 dados): rol 10,12,12,12,13,14,15,18,18,20,… → posição 8 → Me = 18 min.
Q6 (8 dados): rol 2,6,7,10,12,13,18,21 → (10+12)/2 = 11 min.
Q8 (12 dados): rol 50,50,226,244,257,262,267,272,… → (262+267)/2 = 264,5 kWh.
Q9: n/2 = 25 → FA: 1, 4, 10, 20, 33 → linha da nota 6 → Me = 6.
Q10: n/2 = 20 → primeira FA = 22 ≥ 20 → Me = 1 SM.

"Qual representa melhor, média ou mediana?" (Q8-c): se há valores muito fora (os dois 50 kWh), a média é puxada (233 fica abaixo de 9 dos 12 meses) → a mediana representa melhor. Escreva: "há valores extremos (outliers) que distorcem a média; a mediana não é afetada por eles".

🔢 Na AK-J001

( 10 + 12 ) ÷ 2 =   → 11      (só quando n é par)
( 15 + 1 ) ÷ 2 =    → 8       (posição, n ímpar)
50 ÷ 2 =            → 25      (n/2 da tabela)

O STAT não dá mediana. Ordenar antes é obrigatório — é o erro mais comum.

2.5 Moda 🏋️ treinarVT01 Q7, Q9-c, Q10-e

📝 No papel

Mo = valor que MAIS se repete (na tabela: o xi de maior fi)
 1 moda   → unimodal
 2 modas  → bimodal
 nenhuma (todos aparecem igual) → amodal

Q7: a) Mo = 10 (unimodal) · b) sem moda (amodal) · c) Mo = 4 e 7 (bimodal) · Q9: fi maior = 13 → Mo = 6 · Q10: fi maior = 22 → Mo = 1 SM.

🔢 Na AK-J001

Nada — contagem no olho.

2.5b Média, moda e mediana a partir de um GRÁFICO (barras / linha), passo a passo 🏋️ treinarRevisão Q14 (UFSM frutas) e Q15 (taxa de desocupação)

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001	Visor
1	Leia o valor de CADA barra/ponto e escreva a lista. Q14: 26, 25, 40, 22, 21, 25, 30, 40 (n = 8)	`MODE2` · `SHIFTCLR1=` · 26 M+ 25 M+ 40 M+ 22 M+ 21 M+ 25 M+ 30 M+ 40 M+ · `SHIFTS-SUM3=`	n = 8 ✔
2	Média = Σ/n = 229/8 = 28,625	`SHIFTS-VAR1=`	28.625
3	Moda = o que mais repete: 25 (2×) e 40 (2×) → 25 e 40 (bimodal)	—	—
4	Rol: 21, 22, 25, 25, 26, 30, 40, 40 → n par → (4º + 5º)/2 = (25 + 26)/2 = 25,5	`(25+26)÷2=`	25.5
5	Q14 → letra A (28,625; 25 e 40; 25,5)	—	—
6	Q15: 14 pontos: 9,8 9,4 8,4 9,3 9,9 10,1 10,1 10,1 9,7 9,5 9,6 9,0 8,7 8,2 → Σ = 131,8 → média = 131,8/14 ≈ 9,4 · moda = 10,1 (3×) → letra D	STAT com `9.8M+` … (ponto, não vírgula) · S-SUM 3 → 14 ✔ · S-VAR 1	9.414

Em gráfico de linha, os pontos repetidos (10,1 · 10,1 · 10,1) contam 3 vezes. Não pule pontos "iguais".

2.6 Tabela COM classes (faixas: 1000 ⊢ 1400) 🏋️ treinarcai na N1 — média, mediana e moda por interpolação

📝 No papel

Ponto médio  xi = (li + Li)/2      amplitude  h = Li − li

MÉDIA:   x̄ = Σ(xi·fi) / n           (usa o ponto médio)

MEDIANA: 1) n/2   2) coluna FA   3) classe mediana = 1ª FA ≥ n/2
         Me = li + [ (n/2 − FAant) / fi ] · h
         li = limite inferior DA classe mediana
         FAant = FA da classe ANTERIOR · fi = fi DA classe · h = amplitude

MODA (Czuber): classe modal = maior fi
         d1 = f(modal) − f(anterior)     d2 = f(modal) − f(posterior)
         Mo = li + [ d1 / (d1 + d2) ] · h
         (moda bruta = ponto médio da classe modal)

Exemplo (40 salários, h=400): classe mediana 1800⊢2200, FAant=14, fi=14 → Me = 1800 + (20−14)/14·400 = 1.971,43. Moda: d1=14−9=5, d2=14−8=6 → Mo = 1800 + 5/11·400 = 1.981,82.

Sanidade: Me e Mo têm que cair DENTRO da classe de onde saíram.

🔢 Na AK-J001

Ponto médio: ( 1000 + 1400 ) ÷ 2 =  → 1200
Média (STAT com freq.): 1200 SHIFT , 5 M+  1600 SHIFT , 9 M+ …  → S-VAR 1
Mediana: 1800 + ( 20 − 14 ) ÷ 14 × 400 =   → 1971.43
Moda:    1800 + 5 ÷ ( 5 + 6 ) × 400 =      → 1981.82

Parênteses no (n/2 − FAant) e no (d1 + d2).

2.7 Variância e desvio padrão — populacional (÷n) e amostral (÷n−1), passo a passo 🏋️ treinarN1 · o que escrever + como conferir na hora

Ideia: média → tabela de desvios → soma dos quadrados → divide por n (população) ou por n−1 (amostra) → raiz. A calculadora dá o resultado final direto no modo STAT; a tabela é o que vale nota.

Exemplo (VT01 Q4):  10, 14, 13, 15, 16, 18, 12      n = 7

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001	Visor
1	n = 7 · Σx = 10+14+13+15+16+18+12 = 98	`MODE2` · `SHIFTCLR1=` · `10M+14M+13M+15M+16M+18M+12M+` · `SHIFTS-SUM3=`	n = 7 ✔
2	x̄ = Σx / n = 98 / 7 = 14	`SHIFTS-VAR1=`	14
3	Tabela: xi \| xi − x̄ \| (xi − x̄)² 10 \| −4 \| 16 · 14 \| 0 \| 0 · 13 \| −1 \| 1 · 15 \| 1 \| 1 · 16 \| 2 \| 4 · 18 \| 4 \| 16 · 12 \| −2 \| 4 Σ(xi − x̄) = 0 ✔ · Σ(xi − x̄)² = 42	cada linha: `(10−14)x²=` → 16 … (ou de cabeça)	16, 0, 1, 1, 4, 16, 4
4	POPULACIONAL: σ² = 42 / 7 = 6 · σ = √6 ≈ 2,45	`SHIFTS-VAR2=` (σ) → depois `x²` (σ²)	2.449 → 6
5	AMOSTRAL: s² = 42 / (7 − 1) = 42 / 6 = 7 · s = √7 ≈ 2,65	`SHIFTS-VAR3=` (s) → depois `x²` (s²)	2.646 → 7
6	Confere: s > σ ✔ (7 > 6). Escreva qual é qual.	`MODE1` (sai do STAT)	—

📝 Modelo para preencher

n = ___   x̄ = Σx/n = ___/___ = ___
| xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² |   ← uma linha por dado
Σ(xi − x̄)² = ___
σ² = ___ / n = ___        σ = √___ = ___   (populacional)
s² = ___ / (n − 1) = ___  s = √___ = ___   (amostral)
Com tabela de frequência: (xi − x̄)² · fi em cada linha, depois soma.

Qual usar? Enunciado fala "amostra", "selecionou", "pesquisou alguns" → amostral (n−1). Fala de todos ("a produção da semana", "os 40 funcionários da loja") → populacional (n). Na dúvida: calcule os dois e nomeie.

🔢 Erros que mais acontecem

Não limpou o STAT → média vem misturada. SHIFTCLR1= sempre.
Trocar S-VAR 2 (σ, ÷n) com S-VAR 3 (s, ÷n−1).
Variância NÃO tem tecla: é o desvio + x².
Dados em tabela de frequência: valorSHIFT,fiM+ e o resto é igual.

2.8 Amplitude, desvio médio e coeficiente de variação 🏋️ treinarN1

📝 No papel

Amplitude total   AT = maior − menor = ___
Desvio médio      Dm = Σ|xi − x̄| / n = ___ / ___ = ___   (módulo: tudo positivo)
Coef. de variação CV = (desvio ÷ x̄) × 100 = ___ %
   CV < 15% baixa dispersão · 15–30% média · > 30% alta

Q4: AT = 18 − 10 = 8 · Dm = 14/7 = 2 · CV = 2,4495/14·100 = 17,5% (dispersão média).

🔢 Na AK-J001

18 − 10 =                    → 8
( 4 + 0 + 1 + 1 + 2 + 4 + 2 ) ÷ 7 =  → 2
SHIFT S-VAR 2 = ÷ 14 × 100 = → 17.5  (ainda no STAT)

📋 Respostas do VT01 de Estatística (para reconhecer o exercício repetido na prova)

Q	Exercício	Resposta
1	classificar 6 variáveis	ordinal · ordinal · contínua · nominal · ordinal · discreta
2	cadastro de funcionários	Nome/Sexo nominal · Escolaridade ordinal · Salário/Tempo contínua
3	fr% idades (n=40)	20% · 50% · 17,5% · 12,5% (Σ = 100%)
4	produção leiteira (7 dias)	x̄ = 14 L (σ ≈ 2,45 · s ≈ 2,65)
5	15 pacientes	Me = 18 min
6	8 pessoas na fila	Me = 11 min
7	moda dos presentes	10 (unimodal) · sem moda (amodal) · 4 e 7 (bimodal)
8	energia 12 meses	x̄ = 233 · Me = 264,5 · mediana representa melhor (outliers de 50)
9	notas de 50 alunos	x̄ = 5,92 · Me = 6 · Mo = 6
10	Loja BETA	40 pessoas · x̄ = 1,825 SM · Me = 1 SM · Mo = 1 SM

📓 Revisão para N1 (a professora disse que cai toda)

Q	Exercício	Resposta
1	800 clientes / 120 pesquisados	população = 800 · amostra = 120
2	350 funcionários / 40 / média 32	população · amostra · estatística (estimativa)
3	25 empresas, média R$ 48.000	população = empresas do setor · amostra = 25 · estatística = 48.000
4–9	classificar	nominal · discreta · ordinal · contínua · discreta · contínua
10	12 técnicos	rol 6…12 · x̄ ≈ 9,17 · Me = 9,5 · Mo = 10
11	média ponderada	8,0
12	salário médio 2 setores	R$ 2.933,33
13	15 sistemas (tabela)	x̄ ≈ 3,93 · Md = 4 · Mo = 3
14	UFSM frutas	letra A: 28,625 · 25 e 40 · 25,5
15	taxa de desocupação	letra D: x̄ = 9,4 · Mo = 10,1

3. Álgebra Linear e Geometria Analítica

Fontes: matrizes-01/02/03 (lei de formação, tipos, operações, propriedades) + plano de ensino (inversa, transposta, determinantes ordem 2/3/Laplace, sistemas por Gauss). Foco: 3×3; o 4×4 só por Laplace na linha com zeros. A AK-J001 não tem modo matriz — tudo é conta simples + memória.

3.1 Montar a matriz pela lei de formação 🏋️ treinarLista 1 — ex. 1 a 5 (a_ij = i − j², a_ij = i + j se i ≤ j…)

📝 No papel

i = LINHA · j = COLUNA · A_m×n = m linhas, n colunas (m·n elementos)
1) Desenhe o esqueleto com a11 a12 … (todas as posições)
2) Para CADA posição troque i e j na fórmula:  a₂₃ → i=2, j=3
3) Se a lei tem "se i = j / se i ≠ j / se i ≤ j": decida a condição
   ANTES de calcular cada elemento
4) Diagonal principal = i = j (a11, a22, a33…)
   Diagonal secundária = i + j = n + 1 (a14, a23, a32, a41 no 4×4)

Ex. 2: a_ij = i − j² (4×4): a₁₁ = 1−1 = 0, a₁₂ = 1−4 = −3, a₂₁ = 2−1 = 1 …

    |  0  -3  -8 -15 |
A = |  1  -2  -7 -14 |   soma diag. principal = 0−2−6−12 = −20
    |  2  -1  -6 -13 |   soma diag. secundária = −15−7−1+3 = −20
    |  3   0  -5 -12 |

Ex. 1: b₁ⱼ = j² − 1 (1×5) → B = [0 3 8 15 24] — 5 elementos, 1 linha, 5 colunas, retangular (matriz linha).

📓 Caderno (ex. 4 da 1ª lista): B = (b_ij)₃ₓ₂ com b_ij = i² + j → b₁₁ = 1+1 = 2, b₁₂ = 1+2 = 3, b₂₁ = 4+1 = 5, b₂₂ = 4+2 = 6, b₃₁ = 9+1 = 10, b₃₂ = 9+2 = 11 → B = |2 3 / 5 6 / 10 11|.

📓 Caderno (com condição par/ímpar): A = (a_ij)₄ₓ₄, a_ij = i + j se i + j é PAR; a_ij = 2i − j se i + j é ÍMPAR. Para cada posição pergunte "i + j é par?" → a₁₁: 2 par → 1+1 = 2 · a₁₂: 3 ímpar → 2·1 − 2 = 0 · a₁₃: 4 par → 4 · a₁₄: 5 ímpar → 2 − 4 = −2 …

    |  2   0   4  −2 |
A = |  3   4   1   6 |
    |  4   4   6   2 |
    |  7   6   5   8 |

🔢 Na AK-J001

Cada elemento é uma conta:  2 − 3 x² =  → -7   (a₂₃)
Somar diagonal: 0 + (−) 2 + (−) 6 + (−) 12 =  → -20

Faça linha por linha: fixe i e varie j = 1, 2, 3, 4. Só muda um número por vez.

3.2 Que tipo especial de matriz é? 🏋️ treinarLista 1 — ex. 3-b, 4-b, 5-b

📝 Olhe onde estão os zeros e a diagonal

Nome	Como reconhecer
Quadrada	linhas = colunas (n×n) — retangular se diferentes
Nula	tudo zero
Linha / Coluna	1×n / m×1
Diagonal	tudo fora da diagonal principal é 0
Escalar	diagonal com o MESMO número, resto 0
Identidade I	diagonal com 1, resto 0
Triangular superior	zeros ABAIXO da diagonal (a_ij = 0 se i > j)
Triangular inferior	zeros ACIMA da diagonal (a_ij = 0 se i < j)
Simétrica	a_ij = a_ji (a diagonal é um espelho) — vale para a_ij = i + j

Ex. 3 (d_ii = i², resto 0) → diagonal (1, 4, 9, 16). Ex. 4 (t_ij = i+j se i ≤ j, 0 se i > j) → triangular superior. Ex. 5 (a_ij = i + j) → simétrica.

🔢 Na AK-J001

Nada.

3.3 Soma, subtração e número × matriz 🏋️ treinarLista 2 — ex. 1-a,b,c,d (A + B, A − B, 2A − B, A − 3B)

📝 No papel

Só soma/subtrai matrizes do MESMO tamanho, posição por posição.
Número × matriz: multiplica TODOS os elementos.
2A − B: primeiro faça 2A (dobra tudo), depois subtraia B posição a posição.

Ex.:  A = |1 2 3|   B = | 1 2  0|          |1−3   2−6   3−0 |   |-2 -4  3|
          |4 5 6|       | 3 1  2|   A−3B = |4−9   5−3   6−6 | = |-5  2  0|
          |7 8 9|       |-2 0 -2|          |7+6   8−0   9+6 |   |13  8 15|

Respostas da lista: A+B = [2 4 3 / 7 6 8 / 5 8 7] · A−B = [0 0 3 / 1 4 4 / 9 8 11] · 2A−B = [1 2 6 / 5 9 10 / 16 16 20].

📓 Caderno — número que é fração: α = −1/7 e A = |3 −1 / −4 8| → αA = |−3/7 1/7 / 4/7 −8/7| (cada elemento × −1/7; sinal: (−)·(−) = +). Subtração é soma com o oposto: A − B = A + (−B). Só soma matrizes da MESMA ordem. Se A = |5 0 / 0 5| (escalar) então A·B = 5B.

🔢 Na AK-J001

Elemento por elemento:  7 − 3 × (−) 2 =  → 13
Fração: (−) 1 a b/c 7 × 3 =  → -3⌐7 ;  (−) 1 a b/c 7 × (−) 4 =  → 4⌐7
Dica: escreva 3B inteira primeiro, depois subtraia — menos erro de sinal.

7 − 3·(−2) = 7 + 6 = 13. Menos com menos dá mais. Use (−).

3.4 Multiplicação de matrizes (linha × coluna) 🏋️ treinarLista 2 — ex. 1-e,f (AB e BA)

📝 No papel

Só existe se: colunas da 1ª = linhas da 2ª.   A_m×p · B_p×n = C_m×n
c_ij = (linha i de A) · (coluna j de B) = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + a_i3·b_3j

Ex. AB, elemento c₁₁ = linha 1 de A × coluna 1 de B:
  |1 2 3| · | 1|  = 1·1 + 2·3 + 3·(−2) = 1 + 6 − 6 = 1
            | 3|
            |-2|
c₁₂ = 1·2 + 2·1 + 3·0 = 4      c₁₃ = 1·0 + 2·2 + 3·(−2) = −2

     | 1  4 -2|            |  9  12  15|
AB = | 7 13 -2|       BA = | 21  27  33|     ⚠ AB ≠ BA (não é comutativa)
     |13 22 -2|            |-16 -20 -24|

A·I = I·A = A (identidade não muda nada)

Rotina para não se perder: escreva "c₁₁ = ", aponte o dedo na linha 1 de A e na coluna 1 de B, multiplique par a par e some. Depois c₁₂ (mesma linha, próxima coluna)…

🔢 Na AK-J001

Cada elemento é uma soma de produtos — digite inteira:
1 × 1 + 2 × 3 + 3 × (−) 2 =   → 1     (c₁₁)
1 × 2 + 2 × 1 + 3 × 0 =       → 4     (c₁₂)
4 × 1 + 5 × 3 + 6 × (−) 2 =   → 7     (c₂₁)

9 contas num 3×3. Marque com um tracinho cada elemento pronto para não pular nenhum.

3.5 Igualdade / equação matricial: achar a, b, c, d 🏋️ treinarLista 2 — ex. 2 (3A = B + C) · Teoria 2 ex. 2 e 3

📝 No papel

Duas matrizes são iguais quando CADA posição é igual.
1) Calcule os dois lados (3A de um lado, B + C do outro)
2) Iguale posição por posição → uma equação por elemento
3) Resolva as fáceis primeiro (uma letra só) e substitua nas outras

Ex.: 3A = B + C com A=|a b|  B=| a  6|  C=|  4  a+b|
                      |c d|    |-1 2d|    |c+d   3 |
posição 11:  3a = a + 4      → 2a = 4  → a = 2
posição 12:  3b = 6 + a + b  → 2b = 8  → b = 4
posição 22:  3d = 2d + 3     → d = 3
posição 21:  3c = −1 + c + d → 2c = −1 + 3 → c = 1
Resposta: a = 2, b = 4, c = 1, d = 3

🔢 Na AK-J001

Só a conta final de cada letra:  8 ÷ 2 =  → 4
Prova real: 3 × 4 =  → 12  e  6 + 2 + 4 =  → 12 ✔

Ela não resolve equação. Isolar a letra é no papel.

3.5b Achar as matrizes X e Y (X + Y = M e X − Y = N) 📓 CAI NA PROVA 🏋️ treinarcaderno — "18ª lista de exercício" (últimas páginas)

📝 No papel — soma as duas equações

X + Y = | 8 5 |     X − Y = | 2 1 |
        | 6 4 |             | 4 2 |
Somando as duas (o Y some):  2X = M + N = | 10 6 |  →  X = | 5 3 |
                                          | 10 6 |         | 5 3 |
Y = M − X = | 8−5 5−3 | = | 3 2 |
            | 6−5 4−3 |   | 1 1 |
Prova: X − Y = | 2 1 / 4 2 | ✔

Modelo: X = (M + N) ÷ 2 · Y = (M − N) ÷ 2 — posição por posição.

🔢 Na AK-J001

( 8 + 2 ) ÷ 2 =  → 5     ( 5 + 1 ) ÷ 2 =  → 3
( 8 − 2 ) ÷ 2 =  → 3     ( 5 − 1 ) ÷ 2 =  → 2

3.5c A·B = C com incógnitas dentro — pelo sistema OU pela inversa (B = A⁻¹·C) 📓 CAI NA PROVA 🏋️ treinarcaderno — "2M da lista" (últimas páginas): o professor anotou B = A⁻¹·C

Jeito 1 — pela inversa (o que o caderno indica), passo a passo

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001	Visor
1	A·B = C → B = A⁻¹·C (multiplica os dois lados pela inversa de A, à esquerda)	—	—
2	det A = 1·4 − 2·3 = −2 (≠ 0, tem inversa)	`1×4−2×3=`	−2
3	A⁻¹ = (1/det)·\| d −b / −c a \| = (1/−2)·\| 4 −2 / −3 1 \| = \| −2 1 / 3/2 −1/2 \|	`4÷(−)2=`→−2 · `(−)2÷(−)2=`→1 · `(−)3÷(−)2=`→1.5 (`a b/c`→1⌐1⌐2 = 3/2) · `1÷(−)2=`→−0.5	−2 · 1 · 1.5 · −0.5
4	B = A⁻¹·C = \| −2 1 / 3/2 −1/2 \| · \| 1 / 2 \| = \| −2·1 + 1·2 / (3/2)·1 + (−1/2)·2 \| = \| 0 / 1/2 \|	`(−)2×1+1×2=`→0 · `1.5×1+(−)0.5×2=`→0.5	0 · 0.5
5	x = 0 e y = 1/2. Prova: A·B = \| 1·0 + 2·(1/2) / 3·0 + 4·(1/2) \| = \| 1 / 2 \| = C ✔	`1×0+2×0.5=`→1 · `3×0+4×0.5=`→2	1 · 2 ✔

Ordem importa: é A⁻¹·C (inversa na frente), não C·A⁻¹. Para 3×3, A⁻¹ sai pela colinha 3.11 e depois multiplica pela colinha 3.4.

Jeito 2 — vira sistema (se não quiser inversa)

📝 No papel

A = | 1 2 |   B = | x |   C = | 1 |      A·B = C
    | 3 4 |       | y |       | 2 |
Multiplica linha × coluna:   1·x + 2·y = 1
                             3·x + 4·y = 2
Resolve o sistema (isola x na 1ª): x = 1 − 2y
  3(1 − 2y) + 4y = 2 → 3 − 6y + 4y = 2 → −2y = −1 → y = 1/2
  x = 1 − 2·(1/2) = 0            B = | 0 / 1/2 |
Prova: 1·0 + 2·(1/2) = 1 ✔   3·0 + 4·(1/2) = 2 ✔
(ou por Cramer 2×2, colinha 3.12: D = −2, Dx = 0, Dy = −1)

🔢 Na AK-J001

(−) 1 ÷ (−) 2 =        → 0.5  → a b/c → 1⌐2
1 − 2 × ( 1 a b/c 2 ) =  → 0
Prova: 3 × 0 + 4 × ( 1 a b/c 2 ) =  → 2 ✔

3.6 Transposta Aᵗ 🏋️ treinarplano de ensino 1.4

📝 No papel

Linha vira coluna: a 1ª linha de A é a 1ª coluna de Aᵗ.
A_m×n → Aᵗ_n×m

A = |1 2 3|      Aᵗ = |1 4|
    |4 5 6|           |2 5|
                      |3 6|
(Aᵗ)ᵗ = A · (A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ · (AB)ᵗ = Bᵗ·Aᵗ (inverte a ordem!)
Simétrica ⟺ Aᵗ = A

🔢 Na AK-J001

Nada — é só reescrever.

3.7 Determinante 2×2 🏋️ treinarplano de ensino 2.1

📝 No papel

det |a b| = a·d − b·c        (principal MENOS secundária)
    |c d|

det |4 7| = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10
    |2 6|

det = ___·___ − ___·___ = ___

🔢 Na AK-J001

4 × 6 − 7 × 2 =   → 10
Com negativos: (−) 3 × 5 − 2 × (−) 4 =  → -7

3.8 Determinante 3×3 — Regra de Sarrus, passo a passo 🏋️ treinaro mais cobrado · siga a tabela linha por linha

Ideia: repete as 2 primeiras colunas ao lado, multiplica 3 diagonais que descem (soma), 3 que sobem (subtrai). São 6 continhas de 3 números + 1 soma.

Exemplo:  A = | 2  1  3 |        Repita col. 1 e 2 →   | 2  1  3 | 2  1
              | 0  4  1 |                              | 0  4  1 | 0  4
              | 5  2  1 |                              | 5  2  1 | 5  2
                                                          ↘ ↘ ↘   ↗ ↗ ↗

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001 digite	Visor
1	Copie a matriz e repita as colunas 1 e 2 à direita	`MC` (zera a memória — o M some do visor)	0
2	↘ 1ª diagonal (a11·a22·a33): 2·4·1 =	`2×4×1=` `M+`	8
3	↘ 2ª diagonal (a12·a23·a31): 1·1·5 =	`1×1×5=` `M+`	5
4	↘ 3ª diagonal (a13·a21·a32): 3·0·2 =	`3×0×2=` `M+`	0
5	↗ 1ª diagonal (a13·a22·a31): 3·4·5 =	`3×4×5=` `M−`	60
6	↗ 2ª diagonal (a11·a23·a32): 2·1·2 =	`2×1×2=` `M−`	4
7	↗ 3ª diagonal (a12·a21·a33): 1·0·1 =	`1×0×1=` `M−`	0
8	det A = (8 + 5 + 0) − (60 + 4 + 0) = 13 − 64 = −51	`MR`	−51

📝 Como fica a resposta completa no papel (copie o formato)

det A = | 2 1 3 | 2 1
        | 0 4 1 | 0 4
        | 5 2 1 | 5 2
det A = (2·4·1 + 1·1·5 + 3·0·2) − (3·4·5 + 2·1·2 + 1·0·1)
det A = (8 + 5 + 0) − (60 + 4 + 0)
det A = 13 − 64
det A = −51

Modelo em branco:
det = ( ___·___·___ + ___·___·___ + ___·___·___ )
    − ( ___·___·___ + ___·___·___ + ___·___·___ )
    = ( ___ ) − ( ___ ) = ___

Como achar cada diagonal com o dedo: ↘ começa em a11, a12, a13 (linha de cima) e desce para a direita. ↗ começa em a13 (canto direito de cima), depois a11 e a12 do lado repetido… ou simplesmente: ↗ = começa na linha de BAIXO (a31, a32, a33) e sobe para a direita.

🔢 Regras da calculadora aqui

M+ = soma na memória (diagonais que descem) · M− = subtrai (que sobem).
Número negativo dentro do produto: ((−)3)×… Ex.: (−3)·2·5 → ((−)3)×2×5= → −30 → M+ (ela soma −30, certo).
Errou uma diagonal? MC e recomece do passo 1. Leva 30 segundos.

Atalhos que zeram o trabalho: linha ou coluna toda de zero → det = 0 · duas linhas iguais (ou uma é múltiplo da outra) → det = 0 · matriz triangular ou diagonal → det = produto da diagonal principal. Escreva o motivo ("duas linhas iguais ⇒ det = 0") e pronto.

Outras propriedades: trocar 2 linhas → det muda de sinal · multiplicar uma linha por k → det × k · L_i ← L_i + k·L_j → det NÃO muda · det(Aᵗ) = det(A) · det(A·B) = det(A)·det(B).

3.9 Determinante 4×4 — o da prova (2 linhas iguais → 0) e o plano B (Laplace) 🏋️ treinarcaderno: "Determinante 4×4: 2 linhas iguais → determinante = zero"

📓 O 4×4 da prova (último exemplo do caderno): tem DUAS LINHAS IGUAIS → det = 0. Não faça Laplace.

📝 Resposta pronta para copiar no papel

M = | 1  2  3  4 |
    | 0  5  1  2 |      ← linha 2
    | 3  1  0  7 |
    | 0  5  1  2 |      ← linha 4 (igual à linha 2)

"As linhas L2 e L4 da matriz são IGUAIS.
 Propriedade dos determinantes: se uma matriz quadrada
 possui duas linhas (ou duas colunas) iguais, o seu
 determinante é nulo.
 Logo,  det M = 0."

Mesma coisa se: uma linha é múltiplo da outra (L4 = 2·L2 → det = 0) · uma linha/coluna é toda zero → det = 0 · duas colunas iguais → det = 0. Escreva o motivo — é o que vale a nota.

🔢 Na AK-J001

Nada. A única "conta" é comparar as linhas com o dedo: leia a linha 1 e procure uma igual embaixo; depois a linha 2; e assim por diante. Confira também as colunas.

Se quiser provar: com Laplace o resultado dá 0 mesmo — mas na prova basta citar a propriedade.

Se o 4×4 NÃO tiver linhas iguais (plano B): Laplace — escolha a linha com mais zeros e faça um Sarrus 3×3 para cada número que NÃO é zero.

Exemplo:  M = | 2  0  1  3 |     linha 1 tem um zero → uso a linha 1
              | 1  1  0  2 |     sinais da linha 1:  +  −  +  −
              | 0  2  1  1 |
              | 1  0  2  1 |
det = (+2)·M11  (−0)·M12  (+1)·M13  (−3)·M14      ← o termo do zero some

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001	Visor
1	Tabuleiro de sinais da linha escolhida: + − + − (linha 1 e 3) ou − + − + (linha 2 e 4)	—	—
2	M11: risque linha 1 e coluna 1, copie o que sobra: \|1 0 2 / 2 1 1 / 0 2 1\|	Sarrus (colinha 3.8): `MC` 1×1×1 `M+` 0×1×0 `M+` 2×2×2 `M+` 2×1×0 `M−` 1×1×2 `M−` 0×2×1 `M−` `MR`	7
3	M12: elemento é 0 → pule (0 × qualquer coisa = 0)	—	—
4	M13: risque linha 1 e coluna 3: \|1 1 2 / 0 2 1 / 1 0 1\|	Sarrus: 1×2×1 M+ 1×1×1 M+ 2×0×0 M+ 2×2×1 M− 1×1×0 M− 1×0×1 M− `MR`	−1
5	M14: risque linha 1 e coluna 4: \|1 1 0 / 0 2 1 / 1 0 2\|	Sarrus: 1×2×2 M+ 1×1×1 M+ 0×0×0 M+ 0×2×1 M− 1×1×0 M− 1×0×2 M− `MR`	5
6	det = (+2)·7 + (+1)·(−1) + (−3)·5 = 14 − 1 − 15 = −2	`2×7+1×(−)1−3×5=`	−2

📝 Modelo para preencher

Linha escolhida: ___   sinais: ___ ___ ___ ___
M_1 = |___ ___ ___|          M_2 = …   (só para elementos ≠ 0)
      |___ ___ ___| = ___
      |___ ___ ___|
det = (±)___·___ + (±)___·___ + (±)___·___ + (±)___·___ = ___

"Riscar" = tampe com o dedo a linha e a coluna do elemento; os 9 números que sobram, na mesma ordem, são o 3×3.

🔢 Como não se perder

Anote cada M no papel assim que sair no visor. A memória será apagada no próximo Sarrus.
Sinal do tabuleiro é SEPARADO do sinal do número. Posição 1,4 é "−": (−3)·5 = −15. Se o número já for negativo, (−)·(−) = +.
Quer menos trabalho? L_i ← L_i − k·L_j não muda o det: use para criar mais zeros na linha antes de Laplace.

3.10 Matriz inversa 2×2 (fórmula) 🏋️ treinarplano de ensino 1.3

📝 No papel

A = |a b|     A⁻¹ = (1/det) · | d  −b|      det = ad − bc
    |c d|                     |−c   a|
(troca a diagonal principal, inverte o sinal da outra, divide pelo det)
det = 0 → NÃO EXISTE inversa (matriz singular)

Ex.: A = |1 2|   det = 1·5 − 2·3 = −1
         |3 5|
A⁻¹ = (1/−1) · | 5 −2| = |−5  2|
               |−3  1|   | 3 −1|
Prova: A·A⁻¹ = I  → |1 2|·|−5 2| = |−5+6  2−2| = |1 0| ✔
                    |3 5| | 3 −1|  |−15+15 6−5|  |0 1|

🔢 Na AK-J001

det:  1 × 5 − 2 × 3 =  → -1  · MC M+
cada elemento ÷ det:  5 ÷ MR =  → -5 ;  (−) 2 ÷ MR =  → 2 …
det que dá fração: 4 ÷ 10 = → a b/c → 2⌐5 (entregue fração)

3.11 Matriz inversa 3×3 — Gauss-Jordan [A | I] → [I | A⁻¹], passo a passo 🏋️ treinarcaderno: "determinante, matriz inversa" cai

Ideia: escreva A e, ao lado, a identidade. Faça operações nas LINHAS (inteiras, dos dois lados) até a esquerda virar a identidade. O que ficar à direita é A⁻¹. Regra de cada operação: número novo = número velho − k × número da outra linha (6 números por linha).

Exemplo:  A = | 1  1  1 |     det A = 1 (≠ 0 → tem inversa)      [ A | I ] =  | 1 1 1 | 1 0 0 |
              | 0  1  2 |                                                     | 0 1 2 | 0 1 0 |
              | 1  2  4 |                                                     | 1 2 4 | 0 0 1 |

#	Objetivo	📝 Operação e linha nova (escreva a operação na margem)	🔢 Conta de exemplo na AK-J001
0	Tem inversa?	det A (Sarrus) = 1 ≠ 0 ✔ (se der 0: "não existe inversa")	colinha 3.8
1	Zerar a31 (col. 1, abaixo do pivô 1)	L3 ← L3 − 1·L1 → \| 0 1 3 \| −1 0 1 \|	posição 3: `4−1×1=` → 3 · posição 4: `0−1×1=` → −1
2	Zerar a32 (col. 2, abaixo do pivô)	L3 ← L3 − 1·L2 → \| 0 0 1 \| −1 −1 1 \|	posição 3: `3−1×2=` → 1 · posição 5: `0−1×1=` → −1
3	Zerar a12 (col. 2, ACIMA do pivô)	L1 ← L1 − 1·L2 → \| 1 0 −1 \| 1 −1 0 \|	posição 3: `1−1×2=` → −1 · posição 5: `0−1×1=` → −1
4	Zerar a13 (col. 3, acima)	L1 ← L1 + 1·L3 → \| 1 0 0 \| 0 −2 1 \|	posição 4: `1+(−)1=` → 0 · posição 5: `(−)1+(−)1=` → −2
5	Zerar a23 (col. 3, acima)	L2 ← L2 − 2·L3 → \| 0 1 0 \| 2 3 −2 \|	posição 4: `0−2×(−)1=` → 2 · posição 5: `1−2×(−)1=` → 3
6	Ler a resposta	Esquerda virou I → A⁻¹ = \| 0 −2 1 / 2 3 −2 / −1 −1 1 \|	—
7	Prova real	A·A⁻¹ = I (basta conferir 2 ou 3 posições)	posição 11: `1×0+1×2+1×(−)1=` → 1 ✔ · posição 12: 1×(−2)+1×3+1×(−1) → 0 ✔

📝 Ordem de ataque (sempre a mesma)

coluna 1: pivô a11 = 1 → zera a21 e a31
coluna 2: pivô a22 = 1 → zera a12 e a32
coluna 3: pivô a33 = 1 → zera a13 e a23
Pivô não é 1?  divida a linha inteira por ele (L ← L ÷ pivô)
Pivô é 0?      troque a linha com uma de baixo
k = o número que você quer zerar ÷ o pivô

🔢 Frações aparecem — use a b/c

Ex.: 2/3 − 1·1/6:   2 a b/c 3 − 1 a b/c 6 =   → 1⌐2  (= 1/2)
Dividir linha por 3:  5 a b/c 3 =   → 1⌐2⌐3  → SHIFT a b/c → 5⌐3
Copie a fração para o papel, não o decimal.

Cada operação = 6 contas. Faça uma linha por vez e confira primeiro o número que você queria zerar: deu 0? senão o k está errado.

3.12 Sistema linear por Cramer (4 determinantes), passo a passo 🏋️ treinar2×2 e 3×3 · plano de ensino 3.1

Ideia: D = determinante dos coeficientes. Para achar x, troque a coluna do x pelos números depois do "=" e calcule o determinante (Dx). x = Dx ÷ D. Mesma coisa para y (Dy) e z (Dz).

Exemplo:   x +  y + z = 6           coeficientes      termos
          2x −  y + z = 3       | 1  1  1 |          | 6 |
           x + 2y − z = 2       | 2 −1  1 |          | 3 |
                                | 1  2 −1 |          | 2 |

#	📝 No papel escreva	🔢 Na AK-J001 (Sarrus, colinha 3.8)	Visor
1	Alinhe x, y, z. Variável que falta = 0.	—	—
2	D = \|1 1 1 / 2 −1 1 / 1 2 −1\| = 7	1×(−1)×(−1) M+ 1×1×1 M+ 1×2×2 M+ 1×(−1)×1 M− 1×1×2 M− 1×2×(−1) M− → MR	7
3	D ≠ 0 ✔ → guarde D	(D no visor) `MC` `M+` ← D fica na memória	M 7
4	Dx: troca coluna 1 por 6, 3, 2 → \|6 1 1 / 3 −1 1 / 2 2 −1\| = 7	digite os 6 produtos de uma vez: `6×(−)1×(−)1+1×1×2+1×3×2−1×(−)1×2−6×1×2−1×3×(−)1=`	7
5	x = Dx / D = 7/7 = 1	`÷MR=` (logo após o Dx)	1
6	Dy: troca coluna 2 → \|1 6 1 / 2 3 1 / 1 2 −1\| = 14 → y = 14/7 = 2	mesmo esquema → 14, depois `÷MR=`	14 → 2
7	Dz: troca coluna 3 → \|1 1 6 / 2 −1 3 / 1 2 2\| = 21 → z = 21/7 = 3	mesmo esquema → 21, depois `÷MR=`	21 → 3
8	Prova: 1 + 2 + 3 = 6 ✔ · 2 − 2 + 3 = 3 ✔	—	—

📝 2×2 (mais rápido)

2x + 3y = 8      D  = |2  3 / 1 −1| = 2·(−1) − 3·1 = −5
 x −  y = −1     Dx = |8  3 / −1 −1| = −8 + 3 = −5  → x = −5/−5 = 1
                 Dy = |2  8 / 1 −1| = −2 − 8 = −10 → y = −10/−5 = 2

🔢 Na AK-J001

2 × (−) 1 − 3 × 1 =   → -5   MC M+
8 × (−) 1 − 3 × (−) 1 =  → -5 ; ÷ MR =  → 1
2 × (−) 1 − 8 × 1 =      → -10 ; ÷ MR = → 2

D = 0 → Cramer não serve (sistema sem solução ou com infinitas). Use escalonamento (3.13) para classificar.

3.13 Sistema linear por escalonamento (Gauss), passo a passo 🏋️ treinarplano de ensino 3.2 · forma escalonada

Ideia: monte a matriz [coeficientes | termos], crie zeros ABAIXO da diagonal (linha nova = linha velha − k × outra linha), até a última linha ter só z. Resolva de baixo para cima.

Exemplo:   x +  y + z = 6        | 1  1  1 | 6 |
          2x −  y + z = 3        | 2 −1  1 | 3 |
           x + 2y − z = 2        | 1  2 −1 | 2 |

#	Objetivo	📝 Operação → linha nova	🔢 As 4 contas na AK-J001
1	zerar o 2 (a21). k = 2 ÷ 1 = 2	L2 ← L2 − 2·L1 → \| 0 −3 −1 \| −9 \|	`2−2×1=`→0 · `(−)1−2×1=`→−3 · `1−2×1=`→−1 · `3−2×6=`→−9
2	zerar o 1 (a31). k = 1	L3 ← L3 − 1·L1 → \| 0 1 −2 \| −4 \|	`1−1=`→0 · `2−1=`→1 · `(−)1−1=`→−2 · `2−6=`→−4
3	zerar o 1 (a32) usando L2. Para evitar fração: 3·L3 + L2	L3 ← 3·L3 + L2 → \| 0 0 −7 \| −21 \|	`3×1+(−)3=`→0 · `3×(−)2+(−)1=`→−7 · `3×(−)4+(−)9=`→−21
4	última linha → z	−7z = −21 → z = 3	`(−)21÷(−)7=`→3
5	linha do meio → y	−3y − 1·3 = −9 → −3y = −6 → y = 2	`((−)9+3)÷(−)3=`→2
6	primeira linha → x	x + 2 + 3 = 6 → x = 1 · S = {(1, 2, 3)}	`6−2−3=`→1

📝 Classificar o sistema (se pedirem)

escada completa (último pivô ≠ 0)  → solução ÚNICA (SPD)
linha  0 0 0 | 0                  → INFINITAS soluções (SPI)
linha  0 0 0 | k (k ≠ 0)          → SEM solução (SI)

🔢 Como não se perder

Escreva a operação na margem (L2 ← L2 − 2·L1) ANTES de calcular.
Sempre confira o zero que queria criar. Não deu 0? o k está errado.
k que dá fração? multiplique a linha inteira antes (3·L3 + L2) para ficar em inteiros.

📋 Respostas das listas de Álgebra (para reconhecer o exercício repetido na prova)

Lista	Exercício	Resposta
1 — ex. 1	b₁ⱼ = j² − 1 (1×5)	5 elementos · 1 linha, 5 colunas · retangular (linha) · B = [0 3 8 15 24]
1 — ex. 2	a_ij = i − j² (4×4)	linhas: [0 −3 −8 −15] [1 −2 −7 −14] [2 −1 −6 −13] [3 0 −5 −12] · diag. principal = −20 · secundária = −20
1 — ex. 3	d_ij = i² se i=j, 0 se i≠j	diagonal com 1, 4, 9, 16 → matriz diagonal
1 — ex. 4	t_ij = i+j se i≤j, 0 se i>j	[2 3 4 5] [0 4 5 6] [0 0 6 7] [0 0 0 8] → triangular superior
1 — ex. 5	a_ij = i + j (3×3)	[2 3 4] [3 4 5] [4 5 6] → simétrica
2 — ex. 1	A = [1 2 3/4 5 6/7 8 9], B = [1 2 0/3 1 2/−2 0 −2]	A+B = [2 4 3/7 6 8/5 8 7] · A−B = [0 0 3/1 4 4/9 8 11] · 2A−B = [1 2 6/5 9 10/16 16 20] · A−3B = [−2 −4 3/−5 2 0/13 8 15] · AB = [1 4 −2/7 13 −2/13 22 −2] · BA = [9 12 15/21 27 33/−16 −20 −24]
2 — ex. 2	3A = B + C	a = 2 · b = 4 · c = 1 · d = 3
📓 caderno	B₃ₓ₂, b_ij = i² + j	\|2 3 / 5 6 / 10 11\|
📓 caderno	A₄ₓ₄, i+j (par) / 2i−j (ímpar)	[2 0 4 −2] [3 4 1 6] [4 4 6 2] [7 6 5 8]
📓 caderno	X+Y = \|8 5/6 4\|, X−Y = \|2 1/4 2\|	X = \|5 3/5 3\| · Y = \|3 2/1 1\|
📓 caderno	A·B = C, A = \|1 2/3 4\|, C = \|1/2\|	x = 0, y = 1/2
📓 caderno	−1/7 · \|3 −1/−4 8\|	\|−3/7 1/7 / 4/7 −8/7\|

Tópicos da prova segundo o caderno: determinante, matriz inversa, lei de formação, soma, multiplicação, escalar, listas. Determinante 4×4: "2 linhas iguais → determinante = zero".

↑ Sumário