Mini-colinha de prova — receitas numeradas por tipo de questão. Ctrl+P → "Páginas por folha: 2" deixa meia folha. colinha completa · treino Folha de fórmulas se o professor permitir; senão, a folha para decorar.

ESTATÍSTICA — N1 21/09 Sempre: fórmula → substituição → resposta com unidade. AK-J001: MODE 2 entra no STAT · MODE 1 sai · SHIFT CLR 1 = limpa

ÍNDICE — ache pelo que o enunciado pede
E1 "quem é a população / a amostra / a estimativa"
E2 "classifique a variável" (nominal/ordinal/discreta/contínua)
E3 lista de números → "monte a tabela", fi, FA, fr%
E4 "média" (lista, tabela, pesos, dois setores)
E5 "mediana" / "qual representa melhor"
E6 "moda", unimodal/bimodal/amodal
E7 tabela com FAIXAS (10 ⊢ 20) → média/mediana/moda
E8 "variância", "desvio padrão" populacional/amostral
E9 "amplitude", "desvio médio", "coeficiente de variação", "mais regular"
E10 gráfico de barras/linha → média, moda, mediana (UFSM/IBGE)

E1 · População / amostra / estatística

  1. POPULAÇÃO = todos (grupo inteiro). 2. AMOSTRA = os que foram pesquisados. 3. ESTATÍSTICA (estimativa) = o número calculado da amostra.
Ex: 800 clientes, 120 respondem, média 32 → "população: os 800 clientes; amostra: os 120 selecionados; estatística: a média de 32".

E2 · Classificar variável

  1. É número? NÃO → qualitativa. Tem ordem (P/M/G, satisfação, escolaridade)? ORDINAL. Sem ordem (sexo, marca, canal)? NOMINAL.
  2. SIM → quantitativa. Só inteiro/contagem (nº filhos, contratados, cursos)? DISCRETA. Medida/pode ter vírgula (R$, tempo, peso)? CONTÍNUA.

E3 · Tabela de frequência (dados brutos)

  1. ROL: ordena os dados (risca cada um ao copiar).
  2. fi: conta quantas vezes cada valor aparece. Σfi = n ✔
  3. FA: acumula (FA₂ = f₁ + f₂ …). Última FA = n ✔
  4. fr% = fi ÷ n × 100. Σfr = 100 ✔
  5. x·fi (para a média).
| x | fi | FA | fr%  | x·fi |   Total: n=Σfi | Σ(x·fi)
| 2 |  2 |  2 | 13,3 |  4   |   (rev. Q13: n=15,
| 3 |  5 |  7 | 33,3 | 15   | …  Σx·fi=59)
fr%: MC · n M+ · fi ÷ MR × 100 =

E4 · Média

  1. Lista: x̄ = Σx ÷ n. 2. Tabela: x̄ = Σ(x·fi) ÷ Σfi (÷ total de pessoas, NÃO nº de linhas). 3. Pesos: Σ(nota·peso) ÷ Σpesos. 4. Dois grupos: (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁+n₂).
Ex: 59/15 = 3,93 · pesos (8·4+9·3+7·3)/10 = 8 · grupos (10·3200+20·2800)/30 = 2933,33
MODE 2 · SHIFT CLR 1 = · valor M+ (tabela: valor SHIFT , fi M+) · SHIFT S-SUM 3 = n ✔ · SHIFT S-VAR 1 = x̄

E5 · Mediana (a calculadora não faz)

  1. ORDENA o rol. Conta n.
  2. n ímpar → Md = termo da posição (n+1)/2. n par → média dos termos n/2 e n/2+1.
  3. Tabela: n/2 → desce na coluna FA → 1ª FA ≥ n/2 → Md = o x dessa linha.
Ex: 15 dados → 8ª posição = 18 · 8 dados → (10+12)/2 = 11 · tabela n=50: n/2=25 → FA 1,4,10,20,33 → nota 6.
"Qual representa melhor?" → há valor extremo (dois 50 kWh) → a mediana, pois a média é puxada pelo extremo.

E6 · Moda

  1. Valor que mais repete (tabela: maior fi). 2. Uma → unimodal · duas → bimodal · nenhuma → amodal.

E7 · Tabela COM classes (10 ⊢ 20)

  1. Ponto médio xi = (li + Li)/2 · h = Li − li · coluna xi·fi · coluna FA.
  2. Média: x̄ = Σ(xi·fi) ÷ n.
  3. Mediana: n/2 → classe da 1ª FA ≥ n/2 → Me = li + [(n/2 − FAant) ÷ fi] · h (li, fi da classe mediana; FAant = FA da classe anterior).
  4. Moda: classe do maior fi → d1 = fmodal − fanterior · d2 = fmodal − fposterior → Mo = li + [d1 ÷ (d1+d2)] · h.
  5. Sanidade: Me e Mo caem dentro da classe.
Ex (40 sal., h=400, n/2=20, classe 1800⊢2200, FAant 14, fi 14): Me = 1800 + (20−14)/14·400 = 1971,43 · d1=5, d2=6: Mo = 1800 + 5/11·400 = 1981,82
1800 + ( 20 − 14 ) ÷ 14 × 400 = · 1800 + 5 ÷ ( 5 + 6 ) × 400 =

E8 · Variância e desvio padrão

  1. n e x̄ = Σx/n.
  2. Tabela | xi | xi−x̄ | (xi−x̄)² | (a coluna xi−x̄ soma 0 ✔). Soma a última coluna = S.
  3. Populacional (todos): σ² = S ÷ n · σ = √σ². Amostral (amostra): s² = S ÷ (n−1) · s = √s². Sempre s > σ.
  4. Tabela de freq.: (xi−x̄)²·fi.
10 14 13 15 16 18 12 → x̄ = 14
desvios −4 0 −1 1 2 4 −2 (soma 0 ✔)
quadrados 16 0 1 1 4 16 4 → S = 42
σ² = 42/7 = 6 → σ = 2,45   s² = 42/6 = 7 → s = 2,65
STAT: SHIFT S-VAR 2 = σ (÷n) · SHIFT S-VAR 3 = s (÷n−1) · variância = desvio + x²
Na dúvida, calcule os dois e escreva "σ (populacional) = … · s (amostral) = …".

E9 · Amplitude · desvio médio · CV

  1. AT = maior − menor. 2. Dm = Σ|xi − x̄| ÷ n. 3. CV = desvio ÷ x̄ × 100%: <15% baixa · 15–30% média · >30% alta. Menor CV = mais regular.

E10 · Gráfico → média, moda, mediana

  1. Lê o valor de cada barra/ponto e escreve a lista (repetidos contam).
  2. Média no STAT; moda = o que mais repete; mediana = ordena e pega o meio.
Rev. Q14: 26 25 40 22 21 25 30 40 → 229/8 = 28,625 · Mo 25 e 40 · rol → (25+26)/2 = 25,5 → A. Q15: 14 pontos → 131,8/14 = 9,4 · Mo 10,1 → D.

Gabaritos

VT01: Q3 20·50·17,5·12,5% · Q4 x̄14 · Q5 Md18 · Q6 Md11 · Q7 10/amodal/4e7 · Q8 x̄233 Md264,5 · Q9 5,92/6/6 · Q10 n40 x̄1,825 Md1 Mo1. Revisão: Q10 rol 6…12, x̄9,17 Md9,5 Mo10 · Q11 8 · Q12 2933,33 · Q13 3,93/4/3 · Q14 A · Q15 D.
Erros caros: não limpar o STAT · vírgula (digite ponto) · não ordenar antes da mediana · dividir pelo nº de linhas · trocar σ (S-VAR 2) com s (S-VAR 3).

CÁLCULO — N1 25/09 AK-J001: (−) = número negativo · a b/c = fração · x^y = potência · log/ln · ela NÃO resolve equação nem limite: isolar é no papel

ÍNDICE — ache pelo que o enunciado pede
C1 continhas com sinal, V/F de N, Z, Q, R, dízima
C2 frações: somar/subtrair (MMC), ×, ÷, composta
C3 potência, raiz, ordenar raízes, produtos notáveis, conjuntos ∪ ∩
C4 "lei da função que passa pelos pontos", coef. angular/linear
C5 f(x) = ax+b: raiz, crescente?, sinal, f(x)=k, f(k), passa por?
C6 gráfico de reta / problema (temperatura, promoção, estádio)
C7 2º grau: raízes, vértice, imagem, menor/maior valor, gráfico
C8 "lucro máximo", "custo mínimo", "área máxima" (curral)
C9 exponencial: "quantas bactérias/pessoas em t" e "em quanto TEMPO" · juros · radioativo
C10 "resolva a equação" com x no expoente (8ˣ = 32)
C11 "calcule o log", "y = ln e³ + log 0,01", log_a x = k
C12 "determine o limite" (direto, [ ]ⁿ, 0/0, raiz, ∞)

C1 · Sinais e ordem

  1. Soma: sinais iguais → soma e repete o sinal (−4−3 = −7); diferentes → subtrai, fica o sinal do maior (−4+3 = −1).
  2. × ÷: iguais → + · diferentes → −.
  3. Ordem: parênteses → potência → × ÷ → + −. (2+3·5 = 17 · (2+3)·5 = 25)
  4. x+x = 2x · x·x = x² · −x·(−x) = x² · k·0 = 0 · 0÷k = 0 · ÷0 não existe.
Conjuntos numéricos: N⊂Z⊂Q⊂R · Q = fração, decimal finito, dízima periódica (0,111… = 1/9; 0,999… = 1) · irracional: √2, π, 1,57329… · ∈ é elemento, ⊂ é conjunto, ∅ ⊂ A sempre V.

C2 · Frações

  1. Soma/subtração: MMC por fatoração ao lado (4,6|2 → 2,3|2 → 1,3|3 → 12) → (MMC÷denominador)·numerador → soma em cima.
  2. ×: cima×cima, baixo×baixo. 3. ÷: mantém a 1ª, inverte a 2ª, multiplica. 4. Composta: resolve cima, resolve baixo, divide.
3/4 − 1/6 → 9/12 − 2/12 = 7/12
3 a b/c 4 − 1 a b/c 6 = → 7⌐12 · composta: ( … ) ÷ ( … ) · SHIFT a b/c misto↔imprópria

C3 · Potência, raiz, produtos notáveis

aᵐaⁿ=aᵐ⁺ⁿ · aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ · a⁻ⁿ=1/aⁿ · a⁰=1 · ⁿ√aᵐ=aᵐ/ⁿ · ordenar raízes: leva ao mesmo índice (MMC).
(x±a)² = x² ± 2ax + a² · (x±a)³ = x³ ± 3ax² + 3a²x ± a³ · m³±n³ = (m±n)(m² ∓ mn + n²) · x²−a² = (x+a)(x−a).
Conjuntos: n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B); "nenhum" = total − n(A∪B).
2 x^y (−) 3 = · 3 SHIFT x^y 8 = (³√8) · 6 EXP 4 = 6·10⁴

C4 · Função 1º grau — lei por 2 pontos

  1. a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) (mesma ordem em cima e embaixo).
  2. b: substitui um ponto em y = ax + b e isola b.
  3. Escreve y = ax + b. 4. Prova real com o outro ponto.
(−1,2),(2,−1): a = (−1−2)/(2+1) = −1 · 2 = −1·(−1)+b → b = 1 → y = −x + 1

C5 · Análise de f(x) = ax + b

  1. Reorganize (−4 − 3x → −3x − 4): a = −3, b = −4.
  2. a>0 crescente · a<0 decrescente (justifique pelo sinal de a).
  3. Raiz: ax+b = 0 → x = −b/a. Corta y em (0, b).
  4. f(x) < 0 / > 0: resolve ax+b < 0 (dividir por negativo INVERTE o sinal).
  5. "x que tem k como imagem": ax+b = k → isola x. "imagem de k": f(k).
  6. Passa por (p,q)? calcula f(p) e compara com q.
  7. Esboço: marca (0,b) e (raiz,0), régua.
f = −3x−4: raiz −4/3 · (0,−4) · f<0 para x>−4/3 · f(x)=−16 → x=4 · f(−2)=2

C6 · Gráfico e problema com reta

  1. Do gráfico: b = onde corta y · r = onde corta x → a = −b ÷ r. (Sobe? a>0.)
  2. Problema: x = ? y = ? → dois pontos → a = Δy/Δx → b → y = ax+b.
  3. "Quando y = K?" → ax+b = K, isola x. "Quanto vale em x = K?" → substitui.
  4. Responde com unidade. Promoção: total ÷ unidades. Por partes: só a reta do trecho.
Barra (0,−10),(5,30): a = 8 → 8t−10 = 0 → t = 1,25 min · Estádio trecho 2: 60000/2h = 500/min → 15000/500 = 30 min → 15h30

C7 · 2º grau — Bhaskara e vértice

  1. a, b, c com sinal.
  2. Δ = b² − 4ac (Δ>0 duas raízes · =0 uma · <0 nenhuma).
  3. x = (−b ± √Δ) ÷ 2a → x′, x″. Confere: x′+x″ = −b/a · x′·x″ = c/a.
  4. xᵥ = −b ÷ 2a · yᵥ = −Δ ÷ 4a → V(xᵥ, yᵥ).
  5. a>0 ∪ mínimo, Im = [yᵥ, +∞) · a<0 ∩ máximo, Im = (−∞, yᵥ]. "Menor/maior valor" = yᵥ.
x²−x−2: Δ = 1+8 = 9 · x = (1±3)/2 → 2 e −1 · V(1/2, −9/4) · mínimo −9/4
Δ: ( (−) b ) x² − 4 × a × ( c ) = → √ = → MC M+ · x′: ( −b + MR ) ÷ ( 2 × a ) = · x″: ( −b − MR ) ÷ ( 2 × a ) =

C8 · Lucro máx · custo mín · curral

  1. Forma ax²+bx+c → a<0 tem máximo, a>0 tem mínimo (escreva).
  2. "Quantas unidades?" → xᵥ = −b/2a. "Qual o lucro/custo?" → yᵥ = −Δ/4a (ou f(xᵥ)).
  3. Curral com parede: tela em 3 lados → 2W + L = tela → L = tela − 2W → A = W·L = −2W² + tela·W → Wᵥ → L.
L = −x²+30x−5: Δ = 880 → yᵥ = 220 (x = 15) · C = n²−100n+2510: nᵥ = 50 · 400 m: W = 100, L = 200

C9 · Exponencial: valor e TEMPO (bactérias) caderno + lista

  1. Valor: N(k) = N₀·bᵏ — potência primeiro, depois multiplica. N(0) = N₀.
  2. Tempo: N₀·b^(kt) = V → divide: b^(kt) = V ÷ N₀.
  3. Deu potência redonda (32 = 2⁵)? iguala expoentes: kt = 5 → t = 5 ÷ k.
  4. Não deu? aplica log: kt = log(V÷N₀) ÷ log b → t = … ÷ k.
  5. Hora decimal → ×60 = minutos. Responde com unidade.
1200·2^(0,4t) = 38400 → 2^(0,4t) = 32 = 2⁵
   → 0,4t = 5 → t = 12,5 h
… = 40000 → 2^(0,4t) = 33,33 (não é redonda)
   → 0,4t = log 33,33/log 2 = 5,06 → 12,65 h = 12h39
100·2ᵗ = 12800 → 2ᵗ = 128 = 2⁷ → t = 7 h
1800·1,03² = 1909,62
Juros: M = C(1+i)ᵗ → (1+i)ᵗ = M/C → t = log(M/C) ÷ log(1+i) [7 → 56,6 meses]. Radioativo: Q = Q₀e^(−rt) → e^(−rt) = Q/Q₀ → t = ln(Q/Q₀) ÷ (−r) [0,2 → 80,5 anos]. É exponencial? x no expoente (5ˣ sim, x⁵ não).
38400 ÷ 1200 = · log 33.33 ÷ log 2 = · ÷ 0.4 = · ln 0.2 ÷ (−) 0.02 =

C10 · Equações exponenciais

  1. Escreve os dois lados na MESMA base (8=2³, 32=2⁵, 25=5², 1/5=5⁻¹, 0,1=10⁻¹, 5=5¹).
  2. (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ — distribui o sinal: (5⁻¹)^(3x+2) = 5^(−3x−2).
  3. Iguala os expoentes → 1º grau → isola x (fração!).
  4. Bases diferentes sem base comum (2ˣ = 6ˣ) → x = 0.
8ˣ=32 → 3x=5 → 5/3 · 25^(x+1) = (1/5)^(3x+2) → 2x+2 = −3x−2 → −4/5 · (0,1)^(x−5) = 10 → −x+5 = 1 → 4
confere: log 32 ÷ log 8 = 1.666 → a b/c → 5/3

C11 · Logaritmos

  1. log_a b = x significa aˣ = b ("a elevado a quê dá b"). log = base 10 · ln = base e.
  2. log 1 = 0 · log_a a = 1 · log 100 = 2 · log 0,01 = −2 · ln e³ = 3.
  3. log(xy) = log x + log y · log(x/y) = log x − log y · log xⁿ = n·log x (expoente desce).
  4. log_a x = k → x = aᵏ. aˣ = b → x = log b ÷ log a. Só log de positivo.
Caderno: y = ln e³ + log 0,01 = 3 + (−2) = 1

C12 · Limites — ordem fixa

  1. Substitui x = a. Deu número → FIM (lim 7 = 7 · lim x⁵ em −2 = −32).
  2. [f]ⁿ ou ⁿ√f: resolve o de DENTRO, depois eleva/raiz: [(2−1+1)/3]² = 4/9.
  3. Deu 0/0 com polinômio → fatora e corta (x−a): (x²−4)/(x−2) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 → 4. Fatorar: x²−a² = (x−a)(x+a) · ax²+bx+c = a(x−x′)(x−x″) · fator comum.
  4. 0/0 com raiz → multiplica pelo conjugado (√x + k): (√x−2)/(x−4) → 1/(√x+2) → 1/4.
  5. x→∞ → só o maior grau: (3x²+x)/(5x²−1) → 3/5 · cima maior → ±∞ · baixo maior → 0.
  6. k/0 → testa a±0,01: sinais diferentes → não existe; iguais → ±∞.
confere: ( 1.99 x² − 4 ) ÷ ( 1.99 − 2 ) = 3.99 · com 2.01 → 4.01 ⇒ 4 · x = 2 direto dá Math ERROR = precisa fatorar

Gabaritos VT

1º grau: Q02 y = −x+1 · Q04 f = −(4/7)x+4, g = 3x+3 · Q06 1,25 min · Q07 R$ 5,50 · Q08 15h30. 2º grau: raízes 2 e −1, V(1/2,−9/4) · 220 · 50 un. · 100×200 m. Expo: e) · 50/1600/8 min · 6400/7 h · d) · Q05: 5/3 5/2 −1 3/2 1 −4/5 1/2 0 4. Limites 18/09: 7 −32 4 2 4/9 4. Log: 1 · 12,5 h · 12h39 · 56,6 meses · 80,5 anos.
Erros caros: − em vez de (−) · esquecer parênteses em (−b+√Δ)÷(2a) · entregar decimal onde cabe fração · substituir sem reorganizar a função · esquecer a unidade.

ÁLGEBRA LINEAR caderno: determinante · inversa · lei de formação · soma/mult/escalar · listas. Sem modo matriz: toda conta é simples + M+ / M− / MR. Escreva TODAS as continhas.

ÍNDICE — ache pelo que o enunciado pede
A1 "determine a matriz A = (a_ij) definida por…" (lei de formação)
A2 "que tipo especial de matriz é" (diagonal, triangular, simétrica…)
A3 A + B, A − B, 2A − B, k·A · "determine X e Y" (X+Y, X−Y)
A4 A·B, B·A (linha × coluna)
A5 "ache a, b, c, d tal que 3A = B + C" · A·B = C com x, y
A6 "calcule o determinante" 2×2 e 3×3 (Sarrus) + atalhos
A7 determinante 4×4 (linhas iguais → 0 / Laplace)
A8 "matriz inversa" 2×2 (fórmula) e 3×3 (Gauss-Jordan)
A9 "resolva o sistema" por Cramer (determinantes)
A10 "resolva/escalone/classifique o sistema" (Gauss, SPD/SPI/SI)

A1 · Lei de formação a_ij

  1. i = LINHA, j = COLUNA. Desenha o esqueleto (a11 a12 … com m linhas e n colunas).
  2. Se há condição (i=j / i≤j / i+j par), decide a condição de cada posição ANTES.
  3. Substitui i e j em cada posição, linha por linha (fixa i, varia j).
  4. Diagonal principal i=j · secundária i+j = n+1.
b_ij = i²+j (3×2): b11=2 b12=3 | b21=5 b22=6
                   b31=10 b32=11
a_ij = i+j (par) / 2i−j (ímpar), 4×4:
 a11=2  a12=2·1−2=0  a13=4  a14=2−4=−2 …
 → [2 0 4 −2 / 3 4 1 6 / 4 4 6 2 / 7 6 5 8]

A2 · Tipos olhe os zeros e a diagonal

quadrada m=n · nula tudo 0 · linha 1×n · coluna m×1 · diagonal: fora da diagonal 0 · escalar: diagonal toda igual · identidade I: diagonal 1 · triangular superior: zeros abaixo (i>j) · inferior: zeros acima · simétrica: a_ij = a_ji (Aᵗ = A) · transposta: linha vira coluna, (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.

A3 · Soma · escalar · X e Y

  1. Só mesma ordem; posição a posição. A − B = A + (−B).
  2. k·A multiplica todos (fração: −1/7·[3 −1/−4 8] = [−3/7 1/7 / 4/7 −8/7]). 2A − B: faz 2A inteira, depois subtrai.
  3. X+Y = M e X−Y = N: soma as duas → 2X = M+N → X = (M+N)÷2 → Y = M − X → prova X − Y = N.
X+Y=[8 5/6 4]  X−Y=[2 1/4 2]
2X=[10 6/10 6] → X=[5 3/5 3] → Y=[3 2/1 1]

A4 · Multiplicação (linha × coluna)

  1. Existe se colunas da 1ª = linhas da 2ª. Resultado: linhas da 1ª × colunas da 2ª. AB ≠ BA · A·I = A.
  2. c_ij: dedo na LINHA i de A e na COLUNA j de B → multiplica par a par e soma.
  3. Faz c11, c12, c13, depois c21… (9 contas no 3×3; marca cada uma pronta).
[1 2 3]·[ 1 2  0]  c11 = 1·1+2·3+3·(−2) = 1
[4 5 6] [ 3 1  2]  c12 = 1·2+2·1+3·0 = 4
[7 8 9] [−2 0 −2]  c13 = 1·0+2·2+3·(−2) = −2
c21 = 4·1+5·3+6·(−2) = 7 …
AB = [1 4 −2 / 7 13 −2 / 13 22 −2]
1 × 1 + 2 × 3 + 3 × (−) 2 =

A5 · Equação matricial · A·B = C caderno: B = A⁻¹·C

  1. 3A = B + C: calcula os dois lados → iguala posição a posição → resolve as fáceis primeiro (lista: a=2 b=4 c=1 d=3).
  2. A·B = C com B = [x/y]: B = A⁻¹·C (inversa NA FRENTE): det A → A⁻¹ (A8) → multiplica A⁻¹·C (A4) → prova A·B = C. Ou: multiplica linha×coluna, vira sistema, resolve.
A=[1 2/3 4]  C=[1/2]  det = 1·4−2·3 = −2
A⁻¹ = (1/−2)·[4 −2/−3 1] = [−2 1 / 3/2 −1/2]
B = A⁻¹·C = [−2·1+1·2 / (3/2)·1+(−1/2)·2]
  = [0 / 1/2] → x=0, y=1/2 · prova 1·0+2·½=1 ✔

A6 · Determinante 2×2 e 3×3 (Sarrus)

  1. 2×2: |a b / c d| = a·d − b·c.
  2. 3×3: copia as colunas 1 e 2 à direita.
  3. 3 diagonais que DESCEM ↘ (começam em a11, a12, a13): multiplica os 3 números de cada; soma.
  4. 3 que SOBEM ↗ (começam em a31, a32, a33): multiplica; soma.
  5. det = (descem) − (sobem).
|2 1 3| 2 1     ↘ 2·4·1 + 1·1·5 + 3·0·2 = 8+5+0 = 13
|0 4 1| 0 4     ↗ 5·4·3 + 2·1·2 + 1·0·1 = 60+4+0 = 64
|5 2 1| 5 2     det = 13 − 64 = −51
Atalhos: linha/coluna de zeros → 0 · duas linhas iguais ou proporcionais → 0 · triangular/diagonal → produto da diagonal · trocar linhas → muda o sinal · Li + k·Lj → não muda · det Aᵗ = det A · det(AB) = detA·detB.
MC · 2×4×1 = M+ · 1×1×5 = M+ · 3×0×2 = M+ · 5×4×3 = M− · 2×1×2 = M− · 1×0×1 = M− · MR → −51

A7 · Determinante 4×4 o da prova = caderno

1º olhe: duas linhas (ou colunas) IGUAIS? uma múltipla da outra? linha toda 0? → det = 0. Escreva: "L2 = L4 (linhas iguais). Uma matriz com duas linhas iguais tem determinante nulo. Logo det M = 0."
  1. Plano B (Laplace): escolhe a linha com mais zeros.
  2. Sinais da linha: linha 1 e 3 → + − + − · linha 2 e 4 → − + − +.
  3. Para cada número ≠ 0: risca a linha e a coluna dele → sobra um 3×3 → Sarrus (A6) = M.
  4. det = Σ sinal · número · M (o termo do zero some).
|2 0 1 3|  linha 1: +2·M11 −0·M12 +1·M13 −3·M14
|1 1 0 2|  M11 = |1 0 2/2 1 1/0 2 1| = 7
|0 2 1 1|  M13 = |1 1 2/0 2 1/1 0 1| = −1
|1 0 2 1|  M14 = |1 1 0/0 2 1/1 0 2| = 5
det = 2·7 + 1·(−1) − 3·5 = 14 − 1 − 15 = −2

A8 · Inversa 2×2 e 3×3

  1. det = 0 → "não existe inversa". Prova sempre: A·A⁻¹ = I.
  2. 2×2: troca a diagonal principal, inverte o sinal da outra, divide pelo det: A⁻¹ = (1/det)·[d −b / −c a].
  3. 3×3 Gauss-Jordan: escreve [A | I]. Meta: esquerda virar I.
  4. Coluna 1: pivô a11 (se ≠ 1, divide a linha). Zera a21 e a31: Li ← Li − k·L1, k = número a zerar.
  5. Coluna 2: pivô a22 → zera a32 (abaixo) e a12 (acima) usando L2.
  6. Coluna 3: pivô a33 → zera a13 e a23 usando L3. O lado direito é A⁻¹.
2×2: [1 2/3 5] det=−1 → (1/−1)[5 −2/−3 1] = [−5 2/3 −1]
3×3: [1 1 1 | 1 0 0]
     [0 1 2 | 0 1 0]
     [1 2 4 | 0 0 1]
L3←L3−L1  → [0 1 3 | −1 0 1]
L3←L3−L2  → [0 0 1 | −1 −1 1]
L1←L1−L2  → [1 0 −1 | 1 −1 0]
L1←L1+L3  → [1 0 0 | 0 −2 1]
L2←L2−2L3 → [0 1 0 | 2 3 −2]
A⁻¹ = [0 −2 1 / 2 3 −2 / −1 −1 1]
número novo = velho − k × (o da outra linha)
4 − 1 × 1 = · 1 − 2 × (−) 1 = · frações: 2 a b/c 3 − 1 a b/c 6 =

A9 · Sistemas — Cramer

  1. Alinha x, y, z (variável que falta = 0). D = det dos coeficientes (Sarrus). D = 0 → Cramer não serve.
  2. Dx = troca a coluna do x pelos termos depois do "=" → det. Idem Dy, Dz.
  3. x = Dx÷D · y = Dy÷D · z = Dz÷D. 4. Prova numa equação.
x+y+z=6 · 2x−y+z=3 · x+2y−z=2
D  = |1 1 1 / 2 −1 1 / 1 2 −1| = 7
Dx = |6 1 1 / 3 −1 1 / 2 2 −1| = 7  → x = 1
Dy = |1 6 1 / 2 3 1 / 1 2 −1| = 14 → y = 2
Dz = |1 1 6 / 2 −1 3 / 1 2 2| = 21 → z = 3
D no visor → MC M+ · Dx (Sarrus) ÷ MR = x · Dy ÷ MR = y · Dz ÷ MR = z

A10 · Sistemas — escalonamento (Gauss)

  1. Matriz [coeficientes | termos].
  2. Zera abaixo da diagonal, coluna por coluna: Li ← Li − k·Lj (k = número a zerar ÷ pivô; se der fração, multiplica a linha antes: 3·L3 + L2). Confere o zero criado.
  3. Escada → última linha só z → resolve de BAIXO para CIMA.
  4. Classifica: escada completa → SPD (única) · linha 0 0 0|0 → SPI (infinitas) · 0 0 0|k → SI (nenhuma).
[1  1  1 | 6]   L2←L2−2L1 → [0 −3 −1 | −9]
[2 −1  1 | 3]   L3←L3−L1  → [0  1 −2 | −4]
[1  2 −1 | 2]   L3←3L3+L2 → [0  0 −7 | −21]
−7z = −21 → z=3 · −3y−3 = −9 → y=2 · x+2+3=6 → x=1

Gabaritos das listas

L1: B = [0 3 8 15 24] (5 elem., 1×5, retangular) · A(i−j²) diagonais −20 e −20 · D = diagonal(1,4,9,16) · T triangular superior · A(i+j) simétrica. L2: A+B [2 4 3/7 6 8/5 8 7] · A−B [0 0 3/1 4 4/9 8 11] · 2A−B [1 2 6/5 9 10/16 16 20] · A−3B [−2 −4 3/−5 2 0/13 8 15] · AB [1 4 −2/7 13 −2/13 22 −2] · BA [9 12 15/21 27 33/−16 −20 −24] · 3A=B+C: a2 b4 c1 d3.
Erros caros: (−) vs − · sinal do tabuleiro separado do sinal do número · Cramer com D = 0 · inversa na ordem errada (A⁻¹·C) · não conferir o zero criado no escalonamento · esquecer de dividir pelo det na inversa 2×2.