Exercícios parecidos com os das listas e do caderno, com os números trocados. Faça no papel com a calculadora do lado, só depois clique em ver resposta. Cada bloco tem o botão → colinha que abre o cartão com o passo a passo.
Colinha: index.html · Resumo compacto: resumo.html · Regra de ouro: fórmula → substituição → resposta com unidade.
| Quando | O quê | Meta |
|---|---|---|
| Hoje (20/09) — véspera de Estatística | Blocos E1 → E9 inteiros. Repita E3, E7 e E8 (tabela, classes, desvio) até sair sem olhar a colinha. | Modo STAT no automático: limpar, digitar, conferir n, ler x̄/σ/s. |
| 22/09 a 24/09 — Cálculo | Dia 1: C1–C9 (reforço + 1º grau). Dia 2: C10–C13 (2º grau) + C14–C17 (exponencial/log/bactérias). Dia 3: C18 limites + refaz os que errou. | Bhaskara com memória sem errar sinal; bactérias em 3 linhas; limite [ ]ⁿ. |
| Depois de 25/09 — Álgebra | A1–A8 (matrizes e operações) e depois A9–A14 (det, inversa, sistemas). O det 4×4 com linhas iguais é para responder em 2 linhas. | Sarrus com M+/M− em 1 minuto; inversa 2×2 de cabeça; Gauss-Jordan 3×3 sem se perder. |
Dica: marque ✔ ao lado de cada exercício que acertou sem olhar. Os que ficarem sem ✔ são os que você refaz no dia seguinte.
1. 2a b/c3+4a b/c5= → ? · 2. 12a b/c10= → ? · 3. STAT com 10 14 13 15 16 18 12 → média? · 4. 1800×(1.03x^y2)= → ? · 5. log256÷log2= → ? · 6. ((−)1)x²−4×1×((−)2)= → ? · 7. 3SHIFTx^y8= → ? · 8. MC5M+3M−MR → ? · 9. 2×4×1+1×1×5−3×4×5= → ? · 10. ln0.2÷(−)0.02= → ?
a) Classifique V ou F: ① 5/8 ∈ Q · ② √16 ∉ Q · ③ 0,333… ∈ Q · ④ 2,71828… (sem período) ∈ Q · ⑤ −7 ∈ N · ⑥ 14/7 ∈ Q − Z · ⑦ {2} ∈ {2, 4} · ⑧ ∅ ⊂ {1}
b) Calcule: ① (−6)·(−4) · ② (+9)·(−3) · ③ −8 − 5 · ④ −8 + 5 · ⑤ 4 + 2·6 · ⑥ (4 + 2)·6 · ⑦ (−72) ÷ (−8) · ⑧ 0 ÷ (−9) · ⑨ 2·5 + 3 − 1 + 4·(−2) · ⑩ −y·(−y) · ⑪ 3x + 4x − x
Resolva mostrando o MMC (nas somas/subtrações): a) 3/8 + 5/6 · b) 7/10 − 2/15 · c) (4/9)·(3/8) · d) (5/6) ÷ (10/9) · e) (1/4 + 1/6) ÷ (2/3 − 1/2)
a) MMC(8,6): 8,6|2 → 4,3|2 → 2,3|2 → 1,3|3 → 1,1 MMC = 24 → 9/24 + 20/24 = 29/24 (= 1 5/24) b) MMC(10,15) = 30 → 21/30 − 4/30 = 17/30 c) 12/72 = 1/6 d) (5/6)·(9/10) = 45/60 = 3/4 e) em cima: MMC 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12 · embaixo: MMC 6 → 4/6 − 3/6 = 1/6 · (5/12)·(6/1) = 30/12 = 5/2 Conferir: 3 a b/c 8 + 5 a b/c 6 = → 1⌐5⌐24 · ( 1 a b/c 4 + 1 a b/c 6 ) ÷ ( 2 a b/c 3 − 1 a b/c 2 ) = → 2⌐1⌐2
a) 2⁻⁴ · b) ³√27 · c) (−3)³ · d) −3² · e) 16^(3/4) · f) (2³·2⁵)/2⁶ · g) 3·10⁴ + 5·10³ = 3,5·10⁴? (V/F) · h) Ordem crescente de √2, ³√3 e ⁴√5
a) 1/16 = 0,0625 b) 3 c) −27 d) −9 (o sinal fica fora) e) (⁴√16)³ = 2³ = 8 f) 2⁸/2⁶ = 2² = 4 g) 30000 + 5000 = 35000 = 3,5·10⁴ → V h) índice comum 12: ¹²√2⁶ = ¹²√64, ¹²√3⁴ = ¹²√81, ¹²√5³ = ¹²√125 → √2 < ³√3 < ⁴√5 (calc: √2 = 1,414 · 3 SHIFT x^y 3 = 1,442 · 4 SHIFT x^y 5 = 1,495)
a) A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 2, 3, 4}. Determine A ∪ B, A ∩ B e A − B. b) Numa turma de 40 alunos, 18 fazem inglês, 15 fazem espanhol e 6 fazem os dois. Quantos não fazem nenhum? c) n(A) = 120, n(B) = 80, n(A ∩ B) = 45. Calcule n(A ∪ B).
Desenvolva/fatore: a) (x + 3)² · b) (x − 5)² · c) (x + 2)³ · d) (x − 1)³ · e) a³ + 8 · f) x³ − 27 · g) x² − 49
a) x² + 6x + 9 b) x² − 10x + 25 c) x³ + 6x² + 12x + 8 d) x³ − 3x² + 3x − 1 e) a³ + 2³ = (a + 2)(a² − 2a + 4) f) x³ − 3³ = (x − 3)(x² + 3x + 9) g) (x + 7)(x − 7) Conferência com x = 2 no a): (2+3)² = 25 e 4 + 12 + 9 = 25 ✔
Obtenha y = ax + b e diga os coeficientes angular e linear: a) (1, 3) e (3, 7) · b) (−2, 5) e (2, −3)
a) a = (7 − 3)/(3 − 1) = 4/2 = 2 · 3 = 2·1 + b → b = 1 → y = 2x + 1 (angular 2, linear 1). Prova: y(3) = 7 ✔ b) a = (−3 − 5)/(2 − (−2)) = −8/4 = −2 · 5 = −2·(−2) + b → 5 = 4 + b → b = 1 → y = −2x + 1. Prova: y(2) = −3 ✔ Calc b): ( (−) 3 − 5 ) ÷ ( 2 − (−) 2 ) = → -2
a) y = 7x + 1 · b) y = −2x · c) y = 5 − x · d) y = (2/5)x − 3 · e) f(x) = −1 − 4x
Para f(x) = 2x − 6 determine: a) crescente/decrescente (justifique) · b) raiz e coeficientes · c) onde corta o eixo y · d) x para f(x) < 0 · e) o x que tem 10 como imagem · f) x para f(x) > 0 · g) f(−3) · h) esboço · i) passa por (4, 2)?
a) a = 2 > 0 → crescente b) 2x − 6 = 0 → x = 3 · a = 2, b = −6 c) (0, −6) d) 2x − 6 < 0 → x < 3 e) 2x − 6 = 10 → 2x = 16 → x = 8 f) x > 3 g) f(−3) = −6 − 6 = −12 h) reta por (0, −6) e (3, 0), sobe i) f(4) = 8 − 6 = 2 → sim, passa por (4, 2) Calc e): ( 10 + 6 ) ÷ 2 = → 8 · g): 2 × (−) 3 − 6 = → -12
a) Uma reta corta o eixo y em 6 e o eixo x em 3. Escreva y = ax + b. b) Outra reta corta o eixo y em −2 e o eixo x em 4. c) Uma barra a −20 °C é aquecida e chega a 20 °C em 4 minutos (variação linear). Em quanto tempo atinge 0 °C? d) Promoção: 10 unidades custam R$ 80 no total e 30 unidades custam R$ 200 (pontos na mesma reta). Quanto paga POR UNIDADE quem compra 20?
a) b = 6, raiz 3 → a = −6/3 = −2 → y = −2x + 6 (desce ✔) b) b = −2, raiz 4 → a = −(−2)/4 = 1/2 → y = (1/2)x − 2 (sobe ✔) c) pontos (0, −20) e (4, 20): a = 40/4 = 10 → T = 10t − 20 → 10t − 20 = 0 → t = 2 min d) a = (200 − 80)/(30 − 10) = 120/20 = 6 → 80 = 6·10 + b → b = 20 → V = 6x + 20 → V(20) = 140 → 140/20 = R$ 7,00 por unidade
Raízes de: a) f(x) = x² − 5x + 6 · b) f(x) = 2x² + 3x − 2 · c) f(x) = −x² + 4x − 4. Confira por soma e produto.
a) a=1 b=−5 c=6 · Δ = 25 − 24 = 1 · x = (5 ± 1)/2 → x′ = 3, x″ = 2 · soma 5 = −b/a ✔ produto 6 = c/a ✔ b) a=2 b=3 c=−2 · Δ = 9 + 16 = 25 · x = (−3 ± 5)/4 → x′ = 1/2, x″ = −2 · soma −3/2 ✔ produto −1 ✔ c) a=−1 b=4 c=−4 · Δ = 16 − 16 = 0 → uma raiz: x = −4/(−2) = 2 Calc b): 3 x² − 4 × 2 × ( (−) 2 ) = → 25 · √ 25 = → 5 · MC M+ · ( (−) 3 + MR ) ÷ ( 2 × 2 ) = → 0.5 · ( (−) 3 − MR ) ÷ ( 2 × 2 ) = → -2
Para as funções do C10: vértice, conjunto imagem e o maior/menor valor (explique).
a) xᵥ = 5/2 · yᵥ = −1/4 · V(5/2, −1/4) · a > 0 → mínimo → Im = {y ≥ −1/4} · menor valor −1/4
b) xᵥ = −3/4 · yᵥ = −25/8 · a > 0 → mínimo −25/8 → Im = {y ≥ −25/8}
c) xᵥ = 2 · yᵥ = 0 · a < 0 → máximo 0 → Im = {y ≤ 0}
Calc a): (−) 1 ÷ ( 4 × 1 ) = → -0.25 → a b/c → -1⌐4a) L = −2x² + 80x − 150. Qual o lucro máximo e com quantas unidades? b) C = n² − 60n + 1000. Quantas unidades dão o custo mínimo? Qual é ele? c) Um muro será um dos lados de um cercado retangular; para os outros 3 lados há 600 m de tela. Dimensões para área máxima?
a) a = −2 < 0 → máximo. xᵥ = −80/(−4) = 20 unidades · Δ = 6400 − 1200 = 5200 · yᵥ = −5200/(−8) = 650 → lucro máx R$ 650 (prova: L(20) = −800 + 1600 − 150 = 650 ✔) b) a = 1 > 0 → mínimo. nᵥ = 60/2 = 30 unidades · C(30) = 900 − 1800 + 1000 = 100 c) 2W + L = 600 → L = 600 − 2W · A = W(600 − 2W) = −2W² + 600W → Wᵥ = −600/(−4) = 150 m · L = 300 m · área 45.000 m² · confere 2·150 + 300 = 600 ✔
a) S(t) = 2000·(1,05)ᵗ. Salário com 3 anos? b) N(t) = 30·3ᵗ. N(0) e N(4)? c) P(t) = 500·2^(t/2). P(6)?
a) 2000·1,157625 = R$ 2.315,63 calc: 2000 × ( 1.05 x^y 3 ) = → 2315.625 b) N(0) = 30·1 = 30 · N(4) = 30·81 = 2430 c) 500·2³ = 500·8 = 4000 calc: 500 × 2 x^y ( 6 ÷ 2 ) = → 4000
a) (estilo lista) N(t) = 200·2ᵗ (t em horas). Em quanto tempo a cultura terá 6.400 bactérias? E quantas terá após 4 h?
200·2ᵗ = 6400 → 2ᵗ = 32 = 2⁵ → t = 5 h calc: 6400 ÷ 200 = → 32 · log 32 ÷ log 2 = → 5 N(4) = 200·16 = 3200
b) (estilo caderno, expoente com decimal) N(t) = 800·2^(0,5t). Quando terá 25.600 bactérias?
2^(0,5t) = 25600/800 = 32 = 2⁵ → 0,5t = 5 → t = 5/0,5 = 10 h calc: 25600 ÷ 800 = → 32 · 5 ÷ 0.5 = → 10
c) (não dá potência redonda → log) N(t) = 500·2ᵗ. Quando terá 10.000 bactérias? (dê em horas e minutos)
2ᵗ = 10000/500 = 20 → t = log 20 / log 2 = 4,32 h → 0,32 × 60 ≈ 19 min → t ≈ 4 h 19 min calc: log 20 ÷ log 2 = → 4.3219 · 0.3219 × 60 = → 19.3
d) (igual ao caderno) N(t) = 1200·2^(0,4t). Quando terá 76.800 bactérias? E 50.000?
76800/1200 = 64 = 2⁶ → 0,4t = 6 → t = 15 h 50000/1200 = 41,67 → 0,4t = log 41,67/log 2 = 5,381 → t = 13,45 h → 0,45 × 60 = 27 min → ≈ 13 h 27 min calc: log ( 50000 ÷ 1200 ) ÷ log 2 = → 5.381 · ÷ 0.4 = → 13.45
e) (base 3 e valor inicial) Uma cultura triplica a cada hora e começa com 40 bactérias. Escreva N(t) e diga quando terá 3.240 bactérias.
N(t) = 40·3ᵗ · 3ᵗ = 3240/40 = 81 = 3⁴ → t = 4 h calc: log 81 ÷ log 3 = → 4
f) (notícia viral, minutos) N(t) = 25·2ᵗ, t em minutos. Quantas pessoas em t = 0? Em 6 min? Quando chega a 6.400?
N(0) = 25 · N(6) = 25·64 = 1600 · 2ᵗ = 6400/25 = 256 = 2⁸ → t = 8 min
a) 9ˣ = 27 · b) 2ˣ = 1/8 · c) 5^(x−1) = 125 · d) 4^(x+1) = 8^(x−1) · e) (1/2)ˣ = 16 · f) 3^(2x) = 3 · g) (0,01)^(x+1) = 1000 · h) 7ˣ = 4ˣ
a) 3^2x = 3³ → x = 3/2 b) 2ˣ = 2⁻³ → x = −3 c) 5^(x−1) = 5³ → x = 4 d) 2^(2x+2) = 2^(3x−3) → 2x + 2 = 3x − 3 → x = 5 e) 2^(−x) = 2⁴ → x = −4 f) 2x = 1 → x = 1/2 g) 10^(−2x−2) = 10³ → −2x − 2 = 3 → x = −5/2 h) x = 0 Conferir a): log 27 ÷ log 9 = → 1.5
a) log 1000 · b) log 0,001 · c) ln e⁵ · d) log₂ 64 · e) log₃ (1/9) · f) y = ln e² + log 0,1 · g) y = log 100 − ln e⁴ + log₅ 25
a) 3 b) −3 c) 5 d) 6 (2⁶ = 64) e) −2 (3⁻² = 1/9) f) 2·1 + (−1) = 1 g) 2 − 4 + 2 = 0 calc: log 1000 = → 3 · log 64 ÷ log 2 = → 6 · log ( 1 a b/c 9 ) ÷ log 3 = → -2
h) Resolva: log₂ x = 7 · i) log x = 2 · j) 5ˣ = 30 (2 casas decimais) · k) 2^(3t) = 100 (t com 2 casas)
h) x = 2⁷ = 128 i) x = 10² = 100 j) x = log 30 / log 5 ≈ 2,11 k) 3t = log 100/log 2 = 6,644 → t ≈ 2,21 calc j): log 30 ÷ log 5 = → 2.1133 · k): log 100 ÷ log 2 ÷ 3 = → 2.2146
a) R$ 2.000 aplicados a 2% ao mês (juros compostos). Em quanto tempo o montante chega a R$ 4.000? b) Uma substância de 500 g decai a 5% ao ano, Q(t) = Q₀·e^(−0,05t). Quando restam 100 g? c) Uma população de 10.000 cresce 3% ao ano, P(t) = 10000·(1,03)ᵗ. Quando dobra?
a) 4000 = 2000·1,02ᵗ → 1,02ᵗ = 2 → t = log 2/log 1,02 ≈ 35 meses calc: log 2 ÷ log 1.02 = → 35.0 b) 100 = 500·e^(−0,05t) → e^(−0,05t) = 0,2 → −0,05t = ln 0,2 → t = ln 0,2/(−0,05) ≈ 32,2 anos calc: ln 0.2 ÷ (−) 0.05 = → 32.19 c) 1,03ᵗ = 2 → t = log 2/log 1,03 ≈ 23,4 anos
Substituição direta e propriedades: a) lim (x→5) 9 · b) lim (x→−3) x⁴ · c) lim (x→2) (x² − 3x + 1) · d) lim (x→1) (x² + 5)/(2x + 1) · e) lim (x→1) [(x² + 2)/(x + 2)]³ · f) lim (x→2) [(3x² − x)/(2x + 1)]² · g) lim (x→3) √(x² + 7)
a) 9 b) 81 c) 4 − 6 + 1 = −1 d) 6/3 = 2 e) [3/3]³ = 1 f) [(12 − 2)/5]² = 2² = 4 g) √16 = 4
0/0 — fatoração: h) lim (x→2) (x² − 3x + 2)/(x − 2) · i) lim (x→3) (x² − 9)/(x − 3) · j) lim (x→−1) (x² + 3x + 2)/(x + 1) · k) lim (x→0) (x² + 5x)/x
h) 0/0 → raízes 1 e 2 → (x−1)(x−2)/(x−2) = x − 1 → 1 i) (x−3)(x+3)/(x−3) = x + 3 → 6 j) raízes −1 e −2 → (x+1)(x+2)/(x+1) = x + 2 → 1 k) x(x + 5)/x = x + 5 → 5 Conferir h): ( 1.99 x² − 3 × 1.99 + 2 ) ÷ ( 1.99 − 2 ) = → 0.99
0/0 com raiz e infinito: l) lim (x→9) (√x − 3)/(x − 9) · m) lim (x→∞) (4x² − x)/(2x² + 3) · n) lim (x→∞) (x + 1)/x² · o) lim (x→∞) x³/(x + 1) · p) lim (x→1) 1/(x − 1) (laterais)
l) × (√x + 3)/(√x + 3) → (x − 9)/[(x − 9)(√x + 3)] = 1/(√x + 3) → 1/6 m) 4x²/2x² = 2 n) grau de baixo maior → 0 o) grau de cima maior → +∞ p) x = 0,99 → −100 · x = 1,01 → +100 → laterais diferentes → o limite NÃO existe Conferir l): ( √ 8.99 − 3 ) ÷ ( 8.99 − 9 ) = → 0.1667
📋 Revisão Q1–Q3. ① Empresa com 800 clientes; 120 respondem a pesquisa. ② RH: 350 colaboradores; analista seleciona 40 e acha média de 32 anos. ③ Analista analisa 25 empresas do setor e acha despesa média R$ 48.000. Identifique população, amostra e estatística.
🔁 Uma escola tem 1.200 alunos. A coordenação entrevista 90 alunos e encontra tempo médio de deslocamento de 38 min. Quem é população, amostra e estatística?
📋 Revisão Q4–Q9 + VT01 Q1. canal de vendas (loja/site/app/telefone) · nº de funcionários contratados por mês · nível de satisfação (5 níveis) · valor do ativo total · quantidade de cursos por funcionário · tempo navegando no site (min) · classificação das colunas do jornal (excelente/boa/ruim) · marcas de desodorante · tamanhos P/M/G · nº de livros retirados por dia.
🔁 Classifique: ① cor dos olhos · ② nº de irmãos · ③ peso (kg) · ④ faixa etária (criança/jovem/adulto/idoso) · ⑤ temperatura do dia · ⑥ estado civil · ⑦ nº de acessos ao site · ⑧ grau de risco (baixo/médio/alto)
📋 Revisão Q13. Erros em 15 sistemas: 3, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 5, 3. Monte a tabela (x | fi | FA | fr% | x·fi) e calcule média, mediana e moda. VT01 Q3: idades 17 (8), 18 (20), 19 (7), 20 (5) — complete a fr%.
x | fi | FA | fr% | x·fi n = 15 · Σ(x·fi) = 59 2 | 2 | 2 | 13,33 | 4 x̄ = 59/15 ≈ 3,93 3 | 5 | 7 | 33,33 | 15 Md: n/2 = 7,5 → 1ª FA > 7,5 é 10 → Md = 4 4 | 3 | 10 | 20,00 | 12 Mo = 3 (fi = 5) 5 | 3 | 13 | 20,00 | 15 6 | 1 | 14 | 6,67 | 6 7 | 1 | 15 | 6,67 | 7 VT01 Q3: 20% · 50% · 17,5% · 12,5% (soma 100 ✔)
🔁 Tempo de atendimento (min) de 20 clientes: 12, 15, 15, 18, 20, 12, 15, 22, 18, 15, 20, 12, 18, 15, 15, 20, 15, 18, 12, 22. Monte a tabela completa e ache média, mediana e moda.
Rol: 12 12 12 12 15 15 15 15 15 15 15 18 18 18 18 20 20 20 22 22 x | fi | FA | fr% | x·fi n = 20 ✔ · Σ(x·fi) = 329 12 | 4 | 4 | 20 | 48 x̄ = 329/20 = 16,45 min 15 | 7 | 11 | 35 | 105 Md: n/2 = 10 → 1ª FA > 10 é 11 (linha do 15) → Md = 15 18 | 4 | 15 | 20 | 72 (rigoroso: 10º e 11º do rol são 15 e 15 → 15 ✔) 20 | 3 | 18 | 15 | 60 Mo = 15 (fi = 7) 22 | 2 | 20 | 10 | 44 STAT: 12 SHIFT , 4 M+ 15 SHIFT , 7 M+ 18 SHIFT , 4 M+ 20 SHIFT , 3 M+ 22 SHIFT , 2 M+ → S-SUM 3 = 20 ✔ · S-VAR 1 = 16.45 fr%: MC 20 M+ · 4 ÷ MR × 100 = 20 · 7 ÷ MR × 100 = 35 …
📋 VT01 Q4: 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12 litros — média. Revisão Q10: 8, 10, 7, 12, 10, 9, 8, 10, 6, 9, 11, 10 — rol, média, mediana, moda. Q11: notas 8 (peso 4), 9 (peso 3), 7 (peso 3). Q12: 30 funcionários, Adm média 3200, Com média 2800, Adm tem 10 a menos que Com.
Q4: 98/7 = 14 L Q10: rol 6 7 8 8 9 9 10 10 10 10 11 12 · x̄ = 110/12 ≈ 9,17 · Md = (9 + 10)/2 = 9,5 · Mo = 10 Q11: (32 + 27 + 21)/10 = 8,0 Q12: Adm + Com = 30 e Adm = Com − 10 → Com = 20, Adm = 10 → (10·3200 + 20·2800)/30 = 88000/30 ≈ R$ 2.933,33
🔁 ① Notas 7 (peso 2), 8 (peso 3), 9 (peso 5): média ponderada? ② Setor A: 15 pessoas, média R$ 2.500; setor B: 25 pessoas, média R$ 3.100. Média geral? ③ Vendas da semana: 32, 45, 28, 51, 39 — média.
📋 VT01 Q5: 15, 12, 22, 20, 14, 30, 21, 12, 10, 18, 13, 23, 18, 12, 25. Q6: 2, 21, 18, 13, 6, 7, 10, 12. Q8: 50, 267, 279, 262, 226, 298, 294, 272, 297, 257, 244, 50 (média, mediana e qual representa melhor).
Q5: rol 10 12 12 12 13 14 15 [18] 18 20 21 22 23 25 30 · n = 15 ímpar → 8ª posição → Md = 18 min Q6: rol 2 6 7 [10 12] 13 18 21 · n = 8 par → (10 + 12)/2 = 11 min Q8: x̄ = 2796/12 = 233 · rol … 257 [262 267] 272 … → Md = 264,5 · a MEDIANA representa melhor (os dois 50 são valores extremos que puxam a média para baixo)
🔁 ① 9, 14, 11, 20, 7, 15, 12 → mediana. ② 30, 12, 25, 18, 22, 15 → mediana. ③ Salários: 1.200, 1.300, 1.250, 1.400, 9.000 — média ou mediana representa melhor? Por quê?
📋 VT01 Q7: a) 7 8 9 10 10 10 10 11 12 13 15 · b) 3 5 8 10 12 13 · c) 2 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 — moda e classificação.
🔁 ① 5 5 6 8 8 8 9 · ② 1 2 3 4 5 · ③ 2 2 3 5 5 7 · ④ tabela: nota 4 (fi 3), 6 (fi 9), 8 (fi 9), 10 (fi 2)
🔁 Idades (anos) de 30 clientes: 10 ⊢ 20: 4 · 20 ⊢ 30: 8 · 30 ⊢ 40: 12 · 40 ⊢ 50: 6. Calcule média, mediana e moda (Czuber).
xi (ponto médio): 15, 25, 35, 45 · xi·fi: 60, 200, 420, 270 → Σ = 950 · x̄ = 950/30 ≈ 31,67 anos FA: 4, 12, 24, 30 · n/2 = 15 → 1ª FA ≥ 15 é 24 → classe mediana 30 ⊢ 40 (li = 30, FAant = 12, fi = 12, h = 10) Me = 30 + (15 − 12)/12 · 10 = 30 + 2,5 = 32,5 anos Classe modal = 30 ⊢ 40 (fi 12) · d1 = 12 − 8 = 4 · d2 = 12 − 6 = 6 → Mo = 30 + 4/(4+6) · 10 = 34 anos (moda bruta = 35) calc: 30 + ( 15 − 12 ) ÷ 12 × 10 = → 32.5 · 30 + 4 ÷ ( 4 + 6 ) × 10 = → 34 Sanidade: 31,67 · 32,5 · 34 caem entre 10 e 50 e as duas interpoladas dentro de 30–40 ✔
🔁 Salários (R$) de 40 funcionários: 1000 ⊢ 1400: 5 · 1400 ⊢ 1800: 9 · 1800 ⊢ 2200: 14 · 2200 ⊢ 2600: 8 · 2600 ⊢ 3000: 4 (exemplo da colinha — refaça sem olhar).
📋 VT01 Q4 estendida: 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12. Monte a tabela de desvios e calcule σ², σ, s², s, amplitude, desvio médio e CV.
🔁 Chamados por dia: 4, 8, 6, 10, 7, 7. Calcule média, tabela de desvios, σ² e σ (populacional), s² e s (amostral), desvio médio e CV. Diga se a dispersão é baixa, média ou alta.
n = 6 · Σx = 42 · x̄ = 7 xi | xi − x̄ | (xi − x̄)² 4 | −3 | 9 · 8 | 1 | 1 · 6 | −1 | 1 · 10 | 3 | 9 · 7 | 0 | 0 · 7 | 0 | 0 Σ(xi − x̄) = 0 ✔ · Σ(xi − x̄)² = 20 σ² = 20/6 ≈ 3,33 · σ = √3,33 ≈ 1,83 s² = 20/5 = 4 · s = 2 Dm = (3+1+1+3+0+0)/6 = 8/6 ≈ 1,33 · CV = 1,83/7 ≈ 26,1% → dispersão média STAT: MODE 2 · SHIFT CLR 1 = · 4 M+ 8 M+ 6 M+ 10 M+ 7 M+ 7 M+ · S-SUM 3 = 6 ✔ · S-VAR 1 = 7 · S-VAR 2 = 1.826 (x² → 3.33) · S-VAR 3 = 2 (x² → 4) · MODE 1
🔁 Duas máquinas: A produz peças com x̄ = 50 mm e σ = 2 mm; B com x̄ = 200 mm e σ = 5 mm. Qual é mais regular (menor CV)?
📋 Revisão Q14 (UFSM): barras 26, 25, 40, 22, 21, 25, 30, 40 (%). Média, moda e mediana? Q15 (IBGE): 9,8 · 9,4 · 8,4 · 9,3 · 9,9 · 10,1 · 10,1 · 10,1 · 9,7 · 9,5 · 9,6 · 9,0 · 8,7 · 8,2. Média e moda? VT01 Q10 (Loja BETA): 1 SM (22), 2 (10), 3 (3), 4 (3), 5 (2).
🔁 Gráfico de barras com as vendas de 8 vendedores: 15, 20, 20, 35, 25, 20, 30, 15. Média, mediana e moda.
📋 Lista 1: ① B = (b₁ⱼ)₁ₓ₅, b₁ⱼ = j² − 1 (quantos elementos? linhas/colunas? quadrada? determine B). ② A₄ₓ₄, a_ij = i − j² (soma da diagonal principal e da secundária). ③ D₄ₓ₄: d_ij = i² se i = j, 0 se i ≠ j (que tipo?). ④ T₄ₓ₄: t_ij = i + j se i ≤ j, 0 se i > j (que tipo?). ⑤ A₃ₓ₃, a_ij = i + j (que tipo?). 📓 Caderno: ⑥ B₃ₓ₂, b_ij = i² + j. ⑦ A₄ₓ₄: i + j se i + j par; 2i − j se ímpar.
① 5 elementos · 1 linha e 5 colunas · retangular (matriz linha) · B = [0 3 8 15 24] ② A = [0 −3 −8 −15 / 1 −2 −7 −14 / 2 −1 −6 −13 / 3 0 −5 −12] · principal: 0−2−6−12 = −20 · secundária: −15−7−1+3 = −20 ③ diag(1, 4, 9, 16) → matriz DIAGONAL ④ [2 3 4 5 / 0 4 5 6 / 0 0 6 7 / 0 0 0 8] → TRIANGULAR SUPERIOR ⑤ [2 3 4 / 3 4 5 / 4 5 6] → SIMÉTRICA ⑥ [2 3 / 5 6 / 10 11] ⑦ [2 0 4 −2 / 3 4 1 6 / 4 4 6 2 / 7 6 5 8]
🔁 ① A₃ₓ₃, a_ij = i·j. ② B₂ₓ₃, b_ij = 2i − j. ③ C₃ₓ₃: c_ij = i + j se i = j; c_ij = i − j se i ≠ j. ④ M₄ₓ₄: m_ij = 1 se i + j = 5, 0 caso contrário (que matriz é?).
① [1 2 3 / 2 4 6 / 3 6 9] (simétrica) ② [1 0 −1 / 3 2 1] ③ [2 −1 −2 / 1 4 −1 / 2 1 6] ④ [0 0 0 1 / 0 0 1 0 / 0 1 0 0 / 1 0 0 0] — só a diagonal secundária tem 1
🔁 Classifique: ① [5 0 / 0 5] · ② [1 0 0 / 0 1 0 / 0 0 1] · ③ [2 0 0 / 4 1 0 / 7 3 9] · ④ [1 4 2 / 4 0 5 / 2 5 3] · ⑤ [3 1 8] · ⑥ [0 0 / 0 0] · ⑦ [1 2 3 / 0 4 5 / 0 0 6] · ⑧ [2 0 0 / 0 7 0 / 0 0 0]
📋 Lista 2 ex. 1: A = [1 2 3 / 4 5 6 / 7 8 9], B = [1 2 0 / 3 1 2 / −2 0 −2]. Calcule A + B, A − B, 2A − B, A − 3B. 📓 Caderno: α = −1/7, A = [3 −1 / −4 8] → αA.
A+B = [2 4 3 / 7 6 8 / 5 8 7] A−B = [0 0 3 / 1 4 4 / 9 8 11] 2A−B = [1 2 6 / 5 9 10 / 16 16 20] A−3B = [−2 −4 3 / −5 2 0 / 13 8 15] αA = [−3/7 1/7 / 4/7 −8/7]
🔁 A = [2 1 0 / 1 3 2 / 0 1 4], B = [1 0 2 / 3 1 1 / 2 2 0]. Calcule A + B, 3A − B e (−1/2)·A.
A+B = [3 1 2 / 4 4 3 / 2 3 4] 3A−B = [5 3 −2 / 0 8 5 / −2 1 12] (−1/2)A = [−1 −1/2 0 / −1/2 −3/2 −1 / 0 −1/2 −2] calc 3A−B posição 13: 3 × 0 − 2 = → -2 · posição 33: 3 × 4 − 0 = → 12
📋 Lista 2 ex. 1-e,f: com A e B da lista, calcule AB e BA.
AB = [1 4 −2 / 7 13 −2 / 13 22 −2] BA = [9 12 15 / 21 27 33 / −16 −20 −24] (AB ≠ BA) c₁₁ de AB: 1·1 + 2·3 + 3·(−2) = 1 → calc: 1 × 1 + 2 × 3 + 3 × (−) 2 = → 1
🔁 ① [2 1 / 3 4]·[1 5 / 2 0]. ② [1 2 3 / 0 1 4]·[2 1 / 0 3 / 1 1] (que ordem tem o resultado?). ③ Com A e B do A3: AB e BA. ④ É possível multiplicar uma 2×3 por uma 2×3?
① [2·1+1·2 2·5+1·0 / 3·1+4·2 3·5+4·0] = [4 10 / 11 15] ② 2×3 · 3×2 → resultado 2×2: [1·2+2·0+3·1 1·1+2·3+3·1 / 0·2+1·0+4·1 0·1+1·3+4·1] = [5 10 / 4 7] ③ AB = [5 1 5 / 14 7 5 / 11 9 1] · BA = [2 3 8 / 7 7 6 / 6 8 4] ④ Não: colunas da 1ª (3) ≠ linhas da 2ª (2).
📋 Lista 2 ex. 2: A = [a b / c d], B = [a 6 / −1 2d], C = [4 a+b / c+d 3]. Ache a, b, c, d com 3A = B + C.
🔁 A = [a b / c d], B = [a 2 / 3 d], C = [6 b+1 / c−1 4]. Ache a, b, c, d com 2A = B + C.
📓 Caderno: X + Y = [8 5 / 6 4], X − Y = [2 1 / 4 2]. 🔁 X + Y = [7 4 / 9 2], X − Y = [3 2 / 1 4].
Caderno: 2X = [10 6 / 10 6] → X = [5 3 / 5 3] · Y = [3 2 / 1 1] Variação: 2X = [10 6 / 10 6] → X = [5 3 / 5 3] · Y = (M − N)/2 = [4 2 / 8 −2]/2 = [2 1 / 4 −1] · prova X − Y = [3 2 / 1 4] ✔
📓 Caderno: A = [1 2 / 3 4], B = [x / y], C = [1 / 2]. 🔁 A = [2 1 / 5 3], B = [x / y], C = [4 / 9]. Resolva por B = A⁻¹·C e confira pelo sistema.
Caderno: det = −2 · A⁻¹ = [−2 1 / 3/2 −1/2] · B = A⁻¹·C = [0 / 1/2] → x = 0, y = 1/2 Variação: det = 2·3 − 1·5 = 1 · A⁻¹ = [3 −1 / −5 2] · B = [3·4 + (−1)·9 / −5·4 + 2·9] = [3 / −2] → x = 3, y = −2 Sistema: 2x + y = 4 e 5x + 3y = 9 → y = 4 − 2x → 5x + 12 − 6x = 9 → x = 3, y = −2 ✔
📓 Caderno: A = [5 4 / 8 9 / 3 12] → Aᵗ? B = [9 4 2 / 4 3 7 / 2 7 6] → Bᵗ? 🔁 C = [1 2 3 / 0 4 5] → Cᵗ e (Cᵗ)ᵗ.
🔁 ① [3 5 / 2 4] · ② [−2 7 / 1 3] · ③ [6 −4 / −3 2] · ④ Para que valor de k a matriz [k 2 / 3 6] tem determinante zero?
🔁 Calcule pelo Sarrus, escrevendo os 6 produtos: ① [1 2 3 / 0 1 4 / 5 6 0] · ② [2 −1 3 / 1 0 −2 / 4 1 1] · ③ [3 1 2 / 0 5 7 / 0 0 2] (há atalho?) · ④ [1 2 3 / 4 5 6 / 1 2 3] (há atalho?) · ⑤ [2 1 3 / 0 4 1 / 5 2 1] (o da colinha, sem olhar)
① ↘ 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 = 0 + 40 + 0 = 40 · ↗ 3·1·5 + 1·4·6 + 2·0·0 = 15 + 24 + 0 = 39 → det = 1 ② ↘ 2·0·1 + (−1)·(−2)·4 + 3·1·1 = 0 + 8 + 3 = 11 · ↗ 3·0·4 + 2·(−2)·1 + (−1)·1·1 = 0 − 4 − 1 = −5 → det = 11 − (−5) = 16 ③ triangular superior → produto da diagonal: 3·5·2 = 30 (Sarrus confirma: 30 − 0) ④ linhas 1 e 3 iguais → det = 0 (Sarrus: 51 − 51 = 0) ⑤ 13 − 64 = −51 calc ②: MC · 2×0×1 M+ · (−)1×(−)2×4 M+ · 3×1×1 M+ · 3×0×4 M− · 2×(−)2×1 M− · (−)1×1×1 M− · MR → 16
📓 Estilo caderno (o da prova): ① M = [1 3 0 2 / 4 1 5 2 / 1 3 0 2 / 0 2 1 1]. ② N = [2 1 0 3 / 1 0 1 2 / 4 2 0 6 / 0 1 1 1]. Determine os determinantes e justifique.
🔁 Plano B (Laplace): P = [1 0 2 0 / 3 1 0 2 / 0 2 1 1 / 2 0 1 3]. Use a linha 1 (dois zeros).
Linha 1: sinais + − + − · só a11 = 1 e a13 = 2 são ≠ 0 M11 = |1 0 2 / 2 1 1 / 0 1 3| = (3 + 0 + 4) − (0 + 1 + 0) = 6 M13 = |3 1 2 / 0 2 1 / 2 0 3| = (18 + 2 + 0) − (8 + 0 + 0) = 12 det P = (+1)·6 + (+2)·12 = 6 + 24 = 30
🔁 ① [3 1 / 5 2] · ② [4 2 / 3 1] · ③ [2 4 / 1 2] (tem inversa?) · ④ 3×3 por Gauss-Jordan: A = [1 2 1 / 0 1 1 / 1 3 3]. Confira com A·A⁻¹ = I.
① det = 6 − 5 = 1 → A⁻¹ = [2 −1 / −5 3] ② det = 4 − 6 = −2 → A⁻¹ = (1/−2)·[1 −2 / −3 4] = [−1/2 1 / 3/2 −2] ③ det = 4 − 4 = 0 → NÃO tem inversa ④ det A = 1 (tem). [A|I]: L3 ← L3 − L1 → [0 1 2 | −1 0 1] · L3 ← L3 − L2 → [0 0 1 | −1 −1 1] · L1 ← L1 − 2L2 → [1 0 −1 | 1 −2 0] · L1 ← L1 + L3 → [1 0 0 | 0 −3 1] · L2 ← L2 − L3 → [0 1 0 | 1 2 −1] A⁻¹ = [0 −3 1 / 1 2 −1 / −1 −1 1] · prova posição 11: 1·0 + 2·1 + 1·(−1) = 1 ✔ · posição 12: 1·(−3) + 2·2 + 1·(−1) = 0 ✔
🔁 ① 3x + 2y = 12 e x − y = 1. ② x + y + z = 6 · x − y + 2z = 7 · 2x + y − z = 2.
① D = |3 2 / 1 −1| = −3 − 2 = −5 · Dx = |12 2 / 1 −1| = −12 − 2 = −14 · Dy = |3 12 / 1 1| = 3 − 12 = −9 x = −14/−5 = 14/5 = 2,8 · y = −9/−5 = 9/5 = 1,8 · prova: 3·2,8 + 2·1,8 = 8,4 + 3,6 = 12 ✔ ② D = |1 1 1 / 1 −1 2 / 2 1 −1| = (1 + 4 + 1) − (−2 + 2 − 1) = 6 − (−1) = 7 Dx = |6 1 1 / 7 −1 2 / 2 1 −1| = (6 + 4 + 7) − (−2 + 12 − 7) = 17 − 3 = 14 → x = 2 Dy = |1 6 1 / 1 7 2 / 2 2 −1| = (−7 + 24 + 2) − (14 + 4 − 6) = 19 − 12 = 7 → y = 1 Dz = |1 1 6 / 1 −1 7 / 2 1 2| = (−2 + 14 + 6) − (−12 + 7 + 2) = 18 − (−3) = 21 → z = 3 prova: 2 + 1 + 3 = 6 ✔ · 2 − 1 + 6 = 7 ✔ · 4 + 1 − 3 = 2 ✔
🔁 x + 2y + z = 8 · 2x + y − z = 1 · x − y + 2z = 5. Escalone e resolva de baixo para cima. Classifique.
[1 2 1 | 8 / 2 1 −1 | 1 / 1 −1 2 | 5]
L2 ← L2 − 2L1 → [0 −3 −3 | −15] L3 ← L3 − L1 → [0 −3 1 | −3] L3 ← L3 − L2 → [0 0 4 | 12]
4z = 12 → z = 3 · −3y − 3·3 = −15 → −3y = −6 → y = 2 · x + 4 + 3 = 8 → x = 1
S = {(1, 2, 3)} · escada completa → SPD (solução única)🔁 Classifique sem resolver: ① escalonado com última linha [0 0 0 | 0] · ② última linha [0 0 0 | 5] · ③ última linha [0 0 2 | 8]