Resolução:

Primeiro reescrevo a função na forma f(x) = ax + b:

f(x) = −4 − 3x   →   f(x) = −3x − 4
a = −3 (coeficiente angular)     b = −4 (coeficiente linear)

a) A função é crescente ou decrescente? Justifique.

O coeficiente angular é a = −3, que é negativo. Como a < 0, a função é decrescente: quando x aumenta, f(x) diminui. Verificando: f(0) = −4 e f(1) = −7; x subiu e f(x) desceu.

Resposta: decrescente, porque a = −3 < 0.

b) A raiz de f(x) e os coeficientes angular e linear

−3x − 4 = 0
    −3x = 4
      x = 4/(−3) = −4/3

Prova real: f(−4/3) = −3·(−4/3) − 4 = 4 − 4 = 0 ✓

Resposta: raiz x = −4/3; coeficiente angular a = −3; coeficiente linear b = −4.

c) O ponto em que f(x) intercepta o eixo y

No eixo y temos x = 0:

f(0) = −3·0 − 4 = −4

Resposta: a função corta o eixo y no ponto (0, −4).

d) Os valores de x para os quais f(x) é negativa

−3x − 4 < 0
    −3x < 4
      x > −4/3     (dividi por −3, número negativo:
                    o sinal da desigualdade inverte)

Verificação: x = 0 está à direita de −4/3 e f(0) = −4 < 0 ✓

Resposta: f(x) < 0 para x > −4/3, ou seja, S = {x ∈ ℝ | x > −4/3}.

e) O domínio que tem −16 como imagem

Sei o valor de f(x) = −16 e quero o x:

−3x − 4 = −16
    −3x = −16 + 4
    −3x = −12
      x = −12/(−3) = 4

Prova real: f(4) = −3·4 − 4 = −12 − 4 = −16 ✓

Resposta: x = 4.

f) Os valores de x para os quais f(x) é positiva

−3x − 4 > 0
    −3x > 4
      x < −4/3     (dividi por −3: inverte o sinal)

Verificação: x = −2 está à esquerda de −4/3 e f(−2) = 6 − 4 = 2 > 0 ✓

Resposta: f(x) > 0 para x < −4/3, ou seja, S = {x ∈ ℝ | x < −4/3}.

g) A imagem que tem domínio −2

Sei o x = −2 e quero f(x):

f(−2) = −3·(−2) − 4 = 6 − 4 = 2

Resposta: a imagem de −2 é 2, ou seja, o gráfico passa por (−2, 2).

h) Esboço do gráfico de f(x)

Uma reta fica definida por dois pontos. Uso os pontos já encontrados:

Ponto	De onde veio	Coordenadas
corte no eixo y	item c)	(0, −4)
corte no eixo x (raiz)	item b)	(−4/3, 0) ≈ (−1,33; 0)
ponto extra	item g)	(−2, 2)
ponto extra	item i)	(−1, −1)

O que desenhar (com régua):

1. Eixos x (horizontal) e y (vertical) com setas e a origem O.
2. Escala de 1 em 1 nos dois eixos (x de −3 a 2; y de −8 a 4).
3. Marcar os pontos (0, −4), (−4/3, 0), (−2, 2) e (−1, −1) com as coordenadas escritas ao lado.
4. Traçar a reta pelos pontos, prolongando com setas nas duas pontas. A reta desce da esquerda para a direita (a = −3 < 0).
5. Escrever f(x) = −3x − 4 ao lado da reta.

Resposta: reta decrescente que passa por (0, −4) e (−4/3, 0), conforme o esboço.

i) A função passa pelo ponto (−1, −1)? Justifique fazendo as contas.

Substituo x = −1 na função:

f(−1) = −3·(−1) − 4 = 3 − 4 = −1

O valor calculado f(−1) = −1 é igual à ordenada do ponto dado (y = −1). Logo o ponto pertence à reta.

Resposta: sim, a função passa por (−1, −1), pois f(−1) = −1.

Resolução:

Coeficientes: f(x) = 1·x² + (−1)·x + (−2), então a = 1, b = −1, c = −2.

a) As raízes

Δ = b² − 4ac = (−1)² − 4·1·(−2) = 1 + 8 = 9
√Δ = √9 = 3

x = (−b ± √Δ) / 2a = (−(−1) ± 3) / (2·1) = (1 ± 3)/2

x₁ = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2
x₂ = (1 − 3)/2 = −2/2 = −1

Prova real:

f(2)  = 2² − 2 − 2 = 4 − 2 − 2 = 0      ✓
f(−1) = (−1)² − (−1) − 2 = 1 + 1 − 2 = 0 ✓

Conferindo por soma e produto: soma = −b/a = 1 e 2 + (−1) = 1 ✓; produto = c/a = −2 e 2·(−1) = −2 ✓

Resposta: as raízes são x = −1 e x = 2.

b) O vértice

xᵥ = −b/2a = −(−1)/(2·1) = 1/2
yᵥ = −Δ/4a = −9/(4·1) = −9/4

Conferindo por substituição:

f(1/2) = (1/2)² − 1/2 − 2 = 1/4 − 2/4 − 8/4 = −9/4  ✓

Resposta: V = (1/2, −9/4) = (0,5; −2,25).

c) O conjunto imagem

Como a = 1 > 0, a concavidade é voltada para cima e o vértice é o ponto mais baixo. A função assume todos os valores de yᵥ = −9/4 para cima.

Resposta: Im = {y ∈ ℝ | y ≥ −9/4}.

d) Qual o menor valor de f(x)? Explique.

O coeficiente a = 1 é positivo, portanto a parábola tem concavidade para cima. Numa parábola com concavidade para cima o vértice é o ponto de mínimo. Como yᵥ = −Δ/4a = −9/4, o menor valor da função é −9/4 = −2,25, que ocorre em x = 1/2. Não existe x real com f(x) < −9/4.

Resposta: o menor valor de f(x) é −9/4 = −2,25, em x = 1/2.

e) Gráfico de f(x)

Pontos para desenhar:

Ponto	Coordenadas	De onde veio
raiz 1	(−1, 0)	item a)
raiz 2	(2, 0)	item a)
vértice	(1/2, −9/4)	item b)
corte no eixo y	(0, −2)	f(0) = c = −2
simétrico de (0, −2)	(1, −2)	f(1) = 1 − 1 − 2 = −2

O que desenhar:

1. Eixos x e y com régua, setas e escala de 1 em 1 (x de −2 a 3; y de −3 a 4).
2. Marcar os 5 pontos da tabela com as coordenadas escritas ao lado.
3. Ligar os pontos com uma curva suave (parábola), concavidade para cima, sem usar segmentos de reta.
4. Traçar tracejada a reta de simetria x = 1/2 passando pelo vértice.
5. Escrever f(x) = x² − x − 2 ao lado da curva e "V" junto ao vértice.

Resposta: parábola com concavidade para cima, cortando o eixo x em −1 e 2, o eixo y em −2, com vértice (mínimo) em (1/2, −9/4), conforme o gráfico.

Resolução:

Método: escrevo os dois lados na mesma base, uso (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ e a⁻ⁿ = 1/aⁿ, igualo os expoentes e resolvo a equação do 1º grau.

a) 8ˣ = 32

8 = 2³   e   32 = 2⁵
(2³)ˣ = 2⁵
 2³ˣ = 2⁵
  3x = 5
   x = 5/3

Prova real: 8^(5/3) = (2³)^(5/3) = 2⁵ = 32 ✓

Resposta: x = 5/3.

b) 4ˣ = 32

4 = 2²   e   32 = 2⁵
(2²)ˣ = 2⁵
 2²ˣ = 2⁵
  2x = 5
   x = 5/2

Prova real: 4^(5/2) = (√4)⁵ = 2⁵ = 32 ✓

Resposta: x = 5/2.

c) 3ˣ = 1/3

1/3 = 3⁻¹
3ˣ = 3⁻¹
 x = −1

Prova real: 3⁻¹ = 1/3 ✓

Resposta: x = −1.

d) 4ˣ = 8

4 = 2²   e   8 = 2³
(2²)ˣ = 2³
 2²ˣ = 2³
  2x = 3
   x = 3/2

Prova real: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8 ✓ (e 3/2 está entre 1 e 2, pois 8 está entre 4¹ = 4 e 4² = 16).

Resposta: x = 3/2.

e) 2ˣ⁺¹ = 2³ˣ⁻¹

As bases já são iguais; igualo os expoentes:

x + 1 = 3x − 1
1 + 1 = 3x − x
    2 = 2x
    x = 1

Prova real: 2¹⁺¹ = 2² = 4 e 2³·¹⁻¹ = 2² = 4 ✓

Resposta: x = 1.

f) 25ˣ⁺¹ = (1/5)³ˣ⁺²

25 = 5²   e   1/5 = 5⁻¹
lado esquerdo: (5²)^(x+1) = 5^(2x+2)
lado direito:  (5⁻¹)^(3x+2) = 5^(−(3x+2)) = 5^(−3x−2)

5^(2x+2) = 5^(−3x−2)
  2x + 2 = −3x − 2
 2x + 3x = −2 − 2
      5x = −4
       x = −4/5

Prova real (os expoentes devem ficar iguais):

2x + 2 = 2·(−4/5) + 2 = −8/5 + 10/5 = 2/5
−3x − 2 = −3·(−4/5) − 2 = 12/5 − 10/5 = 2/5   ✓

Resposta: x = −4/5.

g) 5²ˣ = 5

5 = 5¹
5²ˣ = 5¹
 2x = 1
  x = 1/2

Prova real: 5^(2·1/2) = 5¹ = 5 ✓

Resposta: x = 1/2.

h) 2ˣ = 6ˣ

As bases são diferentes e não têm base comum. Divido os dois lados por 6ˣ (que é sempre positivo, nunca zero):

2ˣ / 6ˣ = 1
(2/6)ˣ = 1
(1/3)ˣ = 1 = (1/3)⁰
     x = 0

Prova real: 2⁰ = 1 e 6⁰ = 1 → 1 = 1 ✓. Para x > 0 teríamos 6ˣ > 2ˣ e para x < 0 teríamos 6ˣ < 2ˣ, logo x = 0 é a única solução.

Resposta: x = 0.

i) (0,1)ˣ⁻⁵ = 10

0,1 = 1/10 = 10⁻¹   e   10 = 10¹
(10⁻¹)^(x−5) = 10¹
10^(−(x−5)) = 10¹
10^(−x+5) = 10¹
   −x + 5 = 1
       −x = 1 − 5
       −x = −4
        x = 4

Prova real: (0,1)⁴⁻⁵ = (0,1)⁻¹ = 1/0,1 = 10 ✓

Resposta: x = 4.