Cálculo Diferencial — VT1 Parte I (Reforço de Matemática Básica)

UNIUBE — UNIVERSIDADE DE UBERABA

Campus Uberlândia

CURSO DE GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL — VT1 PARTE I

(Reforço de Matemática Básica)

Exercícios 01 a 11

ALUNO(S): Pedro Paulo Coelho Valadão — RA: ______________ (turma 11)

ALUNO 2: ______________________________ — RA: ______________ (turma 11)

PROFESSORA: Elaine Freitas Muniz

UBERLÂNDIA – MG · SETEMBRO 2026

Questão 01

Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F).

Resolução: N = {0, 1, 2, 3, ...} ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℝ; I = irracionais; Q ∩ I = ∅.

item	afirmação	V/F	justificativa
a	2/3 ∈ Q	V	2 e 3 são inteiros e 3 ≠ 0: é da forma p/q.
b	2/3 ∈ ℝ	V	2/3 é racional e Q ⊂ ℝ: todo racional é real.
c	√3 ∈ ℝ	V	√3 = 1,732... é irracional e I ⊂ ℝ: todo irracional é real.
d	√3 ∉ Q	V	√3 = 1,7320508... é dízima infinita não periódica: não é p/q.
e	√12 / √3 ∉ Q	F	√12/√3 = √(12/3) = √4 = 2 = 2/1 ∈ Q.
f	√15 / √3 ∉ Q	V	√15/√3 = √(15/3) = √5 = 2,236... (5 não é quadrado perfeito): irracional.
g	3/4 ∈ Q	V	3 e 4 são inteiros e 4 ≠ 0 (3/4 = 0,75).
h	1 − 5/6 ∉ Q	F	1 − 5/6 = 6/6 − 5/6 = 1/6 ∈ Q.
i	17/9 ∈ Q − Z	V	17/9 = 1,888... é racional e não é inteiro (17 não é múltiplo de 9).
j	62 ∈ Q	V	62 = 62/1: todo inteiro é racional.
k	62/31 ∈ Q − Z	F	62/31 = 2 é inteiro, então 62/31 ∈ Z e não está em Q − Z.
l	1,57329... ∈ Q	F	Dízima infinita sem período é irracional: não pertence a Q.
m	0,111... ∈ Q	V	x = 0,111...; 10x = 1,111...; 10x − x = 1; 9x = 1; x = 1/9 ∈ Q.
n	1,999... ∈ N	V	x = 0,999...; 10x − x = 9; x = 1. Logo 1,999... = 1 + 1 = 2 ∈ N.
o	N ⊂ Z ⊂ Q	V	Todo natural é inteiro e todo inteiro é racional.
p	Z ∩ I = ∅	V	Z ⊂ Q e Q ∩ I = ∅: nenhum inteiro é irracional.
q	Z ⊃ Q	F	Está invertido: 1/2 ∈ Q, mas 1/2 ∉ Z. O correto é Q ⊃ Z.
r	{0} ⊂ Q	V	{0} é conjunto e seu único elemento, 0 = 0/1, é racional.
s	Q^*₊ ∩ Z = N	F	Q^₊ ∩ Z = {1, 2, 3, ...} = N^. Como N = {0, 1, 2, ...} e 0 ∉ Q^*₊, os conjuntos são diferentes.
t	Q ∩ ℝ = Q	V	Q ⊂ ℝ: a interseção de Q com um conjunto que o contém é o próprio Q.

Resposta: a) V · b) V · c) V · d) V · e) F · f) V · g) V · h) F · i) V · j) V · k) F · l) F · m) V · n) V · o) V · p) V · q) F · r) V · s) F · t) V

Questão 02

Considere o conjunto A = {1, 6, 8, 10} e determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas.

Resolução: ∈ e ∉ usam-se entre elemento e conjunto; ⊂ usa-se entre dois conjuntos.

item	afirmação	V/F	justificativa
a	1 ∈ A	V	1 é um dos elementos de A.
b	{1} ∈ A	F	{1} é um conjunto; os elementos de A são números (1, 6, 8, 10), não conjuntos. O correto seria {1} ⊂ A.
c	8 ∉ A	F	8 está na lista de A, então 8 ∈ A.
d	{1, 6} ⊂ A	V	Todo elemento de {1, 6} (o 1 e o 6) também é elemento de A.
e	∅ ⊂ A	V	O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (não tem elemento fora de A).

Resposta: a) V · b) F · c) F · d) V · e) V

Questão 03

A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5}. Determine: a) A ∩ B · b) A ∪ B · c) A − B. d) Num grupo de 22 universitários, 8 cursam Engenharia, 10 cursam Farmácia e 3 cursam Engenharia e Farmácia. Quantos não cursam nem Engenharia nem Farmácia? e) Calcule n(A ∪ B) sabendo que A, B e A ∩ B têm 90, 50 e 30 elementos.

Resolução:

a) A ∩ B = elementos que estão em A e em B
   A ∩ B = {1, 3}

b) A ∪ B = elementos que estão em A ou em B (sem repetir)
   A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
   Conferindo: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
               = 4 + 3 − 2 = 5 elementos

c) A − B = elementos de A que não estão em B
   A = {1, 2, 3, 4}  →  risca o 1 e o 3 (estão em B)
   A − B = {2, 4}

d) Dados: total = 22
   n(E) = 8   n(F) = 10   n(E ∩ F) = 3

   Só Engenharia: 8 − 3 = 5
   Só Farmácia:   10 − 3 = 7
   As duas:       3

   n(E ∪ F) = n(E) + n(F) − n(E ∩ F)
   n(E ∪ F) = 8 + 10 − 3 = 15
   (conferindo pelo diagrama: 5 + 3 + 7 = 15)

   Nem Engenharia nem Farmácia: 22 − 15 = 7

Diagrama de Venn (desenhar): um retângulo U com o total 22; dois círculos que se cruzam, E (Engenharia) e F (Farmácia); escrever 3 na parte comum, 5 só dentro de E, 7 só dentro de F e 7 fora dos círculos.

e) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
   n(A ∪ B) = 90 + 50 − 30 = 110

Resposta: a) A ∩ B = {1, 3} · b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} · c) A − B = {2, 4} · d) 7 universitários · e) n(A ∪ B) = 110 elementos

Questão 04

Resolva usando a regra de sinais, os termos semelhantes e a ordem das operações.

Resolução: sinais iguais na multiplicação/divisão dão +, sinais diferentes dão −; parênteses primeiro, depois × e ÷, depois + e −.

item	expressão	desenvolvimento	resposta
a	x + x	1x + 1x = (1 + 1)x	2x
b	− x − x	−1x − 1x = (−1 − 1)x	−2x
c	4 + 4 + 4	8 + 4	12
d	− x − x + x	(−1 − 1 + 1)x = −1x	−x
e	3 · 3 + 3 − 3 + 2 · (−3)	9 + 3 − 3 − 6 = 12 − 3 − 6 = 9 − 6	3
f	− x · (− x)	(−)·(−) = (+); x · x = x²	x²
g	x · x	x¹ · x¹ = x¹⁺¹	x²
h	(+4) · (+3)	(+)·(+) = (+); 4 · 3 = 12	12
i	(+4) · (−3)	(+)·(−) = (−); 4 · 3 = 12	−12
j	(−4) · (+3)	(−)·(+) = (−); 4 · 3 = 12	−12
k	(−4) · (−3)	(−)·(−) = (+); 4 · 3 = 12	12
l	+4 − 3 + 0	4 − 3 = 1; 1 + 0 = 1	1
m	−4 + 3	sinais diferentes: 4 − 3 = 1, sinal do 4	−1
n	−4 − 3	sinais iguais: 4 + 3 = 7, repete o sinal	−7
o	2 + 3 · 5	multiplica antes: 2 + 15	17
p	(2 · 4 + 3) · 0	(8 + 3) · 0 = 11 · 0	0
q	2x + 3x	(2 + 3)x	5x
r	(2 + 3) · 5	parênteses antes: 5 · 5	25
s	56 ÷ 7	(+)÷(+) = (+); 56 ÷ 7 = 8	8
t	(−56) ÷ 7	(−)÷(+) = (−); 56 ÷ 7 = 8	−8
u	(−56) ÷ (−7)	(−)÷(−) = (+); 56 ÷ 7 = 8	8
v	1/6 + 4/6	mesmo denominador: (1 + 4)/6	5/6
w	0 ÷ (−7)	zero dividido por qualquer número não nulo é zero	0

Item e) passo a passo:

3 · 3 + 3 − 3 + 2 · (−3)
1º multiplicações:  3 · 3 = 9   e   2 · (−3) = −6
   → 9 + 3 − 3 − 6
2º da esquerda para a direita:
   9 + 3 = 12  →  12 − 3 = 9  →  9 − 6 = 3

Resposta: a) 2x · b) −2x · c) 12 · d) −x · e) 3 · f) x² · g) x² · h) 12 · i) −12 · j) −12 · k) 12 · l) 1 · m) −1 · n) −7 · o) 17 · p) 0 · q) 5x · r) 25 · s) 8 · t) −8 · u) 8 · v) 5/6 · w) 0

Questão 05

Efetue as expressões (o sinal ":" indica divisão). Quadro da esquerda: a) −16 : (−1 + 3 · 3) + 3 · 4 · b) [−16 : (−1 + 3 · 3) + 3] · 4 · c) 32 : [32 : (2 − 5 · 2) − 4] − 4 · d) 32 : [14 : (1 − 3) − 3 · 3] − 3[(0 − 10) : 2 + 3]. Quadro da direita — qual é o resultado? a) (+3/5) + (−7/5) · b) (−3/2) + (+5/7) · c) (+0,3) + (−0,7).

Resolução — quadro da esquerda:

a) −16 : (−1 + 3 · 3) + 3 · 4
   = −16 : (−1 + 9) + 3 · 4      (3 · 3 = 9 no parêntese)
   = −16 : 8 + 3 · 4             (−1 + 9 = 8)
   = −2 + 12                     (−16 : 8 = −2 ; 3 · 4 = 12)
   = 10

b) [−16 : (−1 + 3 · 3) + 3] · 4
   = [−16 : (−1 + 9) + 3] · 4
   = [−16 : 8 + 3] · 4
   = [−2 + 3] · 4                (divisão antes da soma)
   = 1 · 4
   = 4

c) 32 : [32 : (2 − 5 · 2) − 4] − 4
   = 32 : [32 : (2 − 10) − 4] − 4
   = 32 : [32 : (−8) − 4] − 4
   = 32 : [−4 − 4] − 4           (32 : (−8) = −4)
   = 32 : (−8) − 4               (−4 − 4 = −8)
   = −4 − 4
   = −8

d) 32 : [14 : (1 − 3) − 3 · 3] − 3[(0 − 10) : 2 + 3]
   = 32 : [14 : (−2) − 9] − 3[(−10) : 2 + 3]
   = 32 : [−7 − 9] − 3[−5 + 3]
   = 32 : (−16) − 3 · (−2)
   = −2 − (−6)
   = −2 + 6
   = 4

Resolução — quadro da direita:

a) (+3/5) + (−7/5)   mesmo denominador: soma os numeradores

    3     7     3 − 7     −4        4
    ─  −  ─  =  ─────  =  ──  =  − ─
    5     5       5        5        5

b) (−3/2) + (+5/7)     MMC(2, 7):   2, 7 │ 2
                                    1, 7 │ 7
                                    1, 1 │  MMC = 2 · 7 = 14

      3     5      3 · 7     5 · 2      21     10
   − ─  +  ─  = − ─────  +  ─────  = − ──  +  ──
      2     7       14        14        14     14

      −21 + 10     −11        11
   =  ────────  =  ───  =  − ──
         14         14        14

c) (+0,3) + (−0,7)        sinais diferentes: 0,7 − 0,3 = 0,4
                          fica o sinal do maior (−0,7)
   0,3 − 0,7 = −0,4

Resposta: esquerda: a) 10 · b) 4 · c) −8 · d) 4. Direita: a) −4/5 · b) −11/14 · c) −0,4

Questão 06

Calcule: a) (+4/7) · (+5/2) · b) (+4/7) · (−5/2) · c) 3 · (−2/7) : (−9/11) : (−3) · d) 2/5 + (−7/2) · (−4/15).

Resolução: na multiplicação, numerador vezes numerador e denominador vezes denominador; na divisão, conserva a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda.

a)  4     5     4 · 5     20     10
    ─  ·  ─  =  ─────  =  ──  =  ──      (÷ 2)
    7     2     7 · 2     14      7

b)  4       5        4 · 5       20        10
    ─  · (− ─)  =  − ─────  =  − ──  =  − ──   (+)·(−) = (−)
    7       2        7 · 2       14         7

c) 3 · (−2/7) : (−9/11) : (−3)   só × e ÷: da esquerda

   1º  3 · (−2/7) = (3/1) · (−2/7) = −6/7

   2º  −6/7 : (−9/11) = (−6/7) · (−11/9)    inverte a 2ª
                      = +66/63              (−)·(−) = (+)
                      = 22/21               (÷ 3)

   3º  22/21 : (−3) = (22/21) · (−1/3) = −22/63

   Conferindo o sinal: 3 negativos (ímpar) → negativo

d) 2/5 + (−7/2) · (−4/15)          multiplica antes de somar

   1º  (−7/2) · (−4/15) = +28/30 = 14/15  (−)·(−) = (+), ÷ 2

   2º  2/5 + 14/15    MMC(5, 15):   5, 15 │ 3
                                    5,  5 │ 5
                                    1,  1 │ MMC = 3 · 5 = 15
        2     14     2 · 3     14     6     14     20     4
        ─  +  ──  =  ─────  +  ──  =  ──  + ──  =  ──  =  ─
        5     15      15       15    15    15     15     3
                                                  (÷ 5)

Resposta: a) 10/7 · b) −10/7 · c) −22/63 · d) 4/3

Questão 07

Calcule: a) (−1/4) : (−2/3) · b) (+7/5) : (−5/3) · c) (−5/2) : (−3) · d) (−0,4) : (−3/5).

Resolução: divisão de frações = conserva a primeira, inverte a segunda e multiplica.

a)     1        2         1        3      3
    (− ─) : (− ─)  =  (− ─) · (− ─)  =  ─     (−)·(−) = (+)
       4        3         4        2      8

b)   7        5       7        3        21
     ─  : (− ─)  =    ─  · (− ─)  =  − ──     (+)·(−) = (−)
     5        3       5        5        25

c)     5                  5        1      5
    (− ─) : (−3)  =   (− ─) · (− ─)  =  ─       −3 = −3/1
       2                  2        3      6    inverso: −1/3

d) −0,4 = −4/10 = −2/5

       2        3         2        5      10     2
    (− ─) : (− ─)  =  (− ─) · (− ─)  =  ──  =  ─   (÷ 5)
       5        5         5        3      15     3

Resposta: a) 3/8 · b) −21/25 · c) 5/6 · d) 2/3

Questão 08

Calcule as frações compostas: a) (14/15) / (−7/5) · b) 1 / (−11/7) · c) (−2) / (−20/9).

Resolução: o traço maior é uma divisão: (a/b) / (c/d) = (a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c).

a)  14/15      14        7       14        5
    ──────  =  ──  : (− ─)  =    ──  · (− ─)
    −7/5       15        5       15        7

               14 · 5        70        2
          =  − ──────  =  − ───  =  − ─     (÷ 35)
               15 · 7       105        3

b)    1        1        11       1        7        7
    ─────  =   ─  : (− ──)  =    ─  · (− ──)  =  − ──
    −11/7      1         7       1        11       11

c)   −2                 20         2        9
    ──────  =  (−2) : (− ──)  =  (− ─) · (− ──)
    −20/9                9         1        20

               2 · 9      18      9
          =  + ──────  =  ──  =  ──          (÷ 2)
               1 · 20     20     10

Resposta: a) −2/3 · b) −7/11 · c) 9/10

Questão 09 — Calcule

a) 0,999... + [(1/5 + 1/3) / (3/5 − 1/15)] · b) z = [1/6 + (−2/3) · (5/2)] / (1 + 1/2).

Resolução:

a) 1º  0,999... = 1
       x = 0,999...
       10x = 9,999...
       10x − x = 9,999... − 0,999...  →  9x = 9  →  x = 1

   2º  numerador:  1/5 + 1/3   MMC(5, 3):   5, 3 │ 3
                                            5, 1 │ 5
                                            1, 1 │  MMC = 15
        1     1     1 · 3     1 · 5     3     5     8
        ─  +  ─  =  ─────  +  ─────  =  ──  + ──  = ──
        5     3      15        15       15    15    15

   3º  denominador:  3/5 − 1/15    MMC(5, 15) = 15
        3     1      3 · 3     1      9     1     8
        ─  −  ──  =  ─────  −  ──  =  ──  − ──  = ──
        5     15      15       15     15    15    15

   4º  divisão:   8/15      8     15
                  ────  =   ──  · ──  =  1
                  8/15      15     8

   5º  soma final:  1 + 1 = 2

b) 1º  numerador (multiplica antes de somar):
          2     5       10       5
       (− ─) · ─  =  − ──  =  − ─          (÷ 2)
          3     2        6       3

       1/6 + (−5/3)       MMC(6, 3):   6, 3 │ 2
                                       3, 3 │ 3
                                       1, 1 │  MMC = 6
        1     5     1     5 · 2     1     10     −9       3
        ─  −  ─  =  ─  −  ─────  =  ─  −  ──  =  ──  =  − ─
        6     3     6       6       6      6      6       2

   2º  denominador:  1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2

   3º  divisão:
            −3/2         3      2        6
       z =  ────  =  (− ─) · ─  =  − ─  =  −1
             3/2         2      3        6

Resposta: a) 2 · b) z = −1

Questão 09 — Simplifique a expressão

E = [y/(y − 1) − 1] / [1 + y/(1 − y)].

Resolução: condição de existência: y − 1 ≠ 0 e 1 − y ≠ 0, ou seja, y ≠ 1.

1º  numerador (o 1 vira (y − 1)/(y − 1)):

      y             y       y − 1     y − (y − 1)
    ─────  −  1  =  ─────  −  ─────  =  ───────────
    y − 1           y − 1     y − 1        y − 1

      y − y + 1        1
    =  ─────────  =  ─────
        y − 1        y − 1

2º  denominador (o 1 vira (1 − y)/(1 − y)):

          y       1 − y       y       (1 − y) + y
    1 + ─────  =  ─────  +  ─────  =  ───────────
        1 − y     1 − y     1 − y        1 − y

      1 − y + y        1
    =  ─────────  =  ─────
        1 − y        1 − y

3º  divisão (conserva a 1ª, inverte a 2ª):

         1/(y − 1)       1       1 − y     1 − y
    E =  ─────────  =  ─────  ·  ─────  =  ─────
         1/(1 − y)     y − 1       1       y − 1

4º  como 1 − y = −(y − 1):

         −(y − 1)
    E =  ────────  =  −1
          y − 1

Conferindo com y = 3:
    numerador:   3/2 − 1 = 1/2
    denominador: 1 + 3/(−2) = 1 − 3/2 = −1/2
    E = (1/2) : (−1/2) = −1

Resposta: E = −1, para todo y ≠ 1

Questão 10

Desenvolva os produtos notáveis: a) (x + 4)² · b) (x − 4)² · c) (x − 4)³ · d) (x + 4)³.

Resolução: fórmulas usadas, com a = x e b = 4 (4² = 16 e 4³ = 64):

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

a) (x + 4)² = x² + 2 · x · 4 + 4²
            = x² + 8x + 16

b) (x − 4)² = x² − 2 · x · 4 + 4²
            = x² − 8x + 16

c) (x − 4)³ = x³ − 3 · x² · 4 + 3 · x · 4² − 4³
            = x³ − 12x² + 3 · x · 16 − 64
            = x³ − 12x² + 48x − 64

d) (x + 4)³ = x³ + 3 · x² · 4 + 3 · x · 4² + 4³
            = x³ + 12x² + 48x + 64

Conferindo com x = 1:

a) (1 + 4)² = 25   e   1 + 8 + 16 = 25

c) (1 − 4)³ = (−3)³ = −27   e   1 − 12 + 48 − 64 = −27

Resposta: a) x² + 8x + 16 · b) x² − 8x + 16 · c) x³ − 12x² + 48x − 64 · d) x³ + 12x² + 48x + 64

Questão 11

Fatore as expressões: a) m³ + n³ · b) m³ − n³.

Resolução: fórmulas da soma e da diferença de cubos:

a³ + b³ = (a + b) · (a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b) · (a² + ab + b²)

a) m³ + n³ = (m + n) · (m² − mn + n²)

   Prova (distributiva):
   (m + n)(m² − mn + n²)
   = m·m² − m·mn + m·n² + n·m² − n·mn + n·n²
   = m³ − m²n + mn² + m²n − mn² + n³
   = m³ + n³            (os termos do meio se cancelam)

b) m³ − n³ = (m − n) · (m² + mn + n²)

   Prova (distributiva):
   (m − n)(m² + mn + n²)
   = m·m² + m·mn + m·n² − n·m² − n·mn − n·n²
   = m³ + m²n + mn² − m²n − mn² − n³
   = m³ − n³

Conferindo com m = 2 e n = 1:

a) 8 + 1 = 9   e   (2 + 1)(4 − 2 + 1) = 3 · 3 = 9

b) 8 − 1 = 7   e   (2 − 1)(4 + 2 + 1) = 1 · 7 = 7

Resposta: a) m³ + n³ = (m + n)(m² − mn + n²) · b) m³ − n³ = (m − n)(m² + mn + n²)